2.1 근호의 곱셈과 나눗셈 · 제곱근과 실수

HOOK

근호도 곱하고 나눌 수 있다

Two clean rules that let you compute with irrationals.

$\sqrt{2}$와 $\sqrt{3}$을 곱하면? 직관적으로 — $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt{3} \approx 1.732$이므로 곱은 약 $2.449$. 그런데 $\sqrt{6} \approx 2.449$! 우연이 아닙니다.

근호의 곱셈에는 단순한 규칙이 있습니다 — $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. 즉 근호 안에서 곱셈을 하면 됩니다. 나눗셈도 마찬가지: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$.

또한 — 근호 안의 제곱인 부분은 근호 밖으로 꺼낼 수 있습니다. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. 이 기술은 수의 모양을 가장 간결하게 만드는 핵심 도구입니다.

$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — 근호 안으로 합쳐진다

CORE CONCEPT

근호의 두 가지 연산 규칙

Two formulas — multiplication and division — both reduce to "compute inside the radical".

RULE 1 · 곱셈

근호의 곱셈 공식

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ ($a, b \ge 0$)

두 근호를 곱할 때는 — 근호 안의 수를 그대로 곱하기.

예시: $\sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6}$ · $\sqrt{5}\sqrt{7} = \sqrt{35}$ · $\sqrt{8}\sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$

RULE 2 · 나눗셈

근호의 나눗셈 공식

$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ($a \ge 0, b > 0$)

분자와 분모의 근호 안의 수를 — 그대로 나누기.

예시: $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3$ · $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2$

EXTENDED · 계수 있는 곱

계수가 있는 근호의 곱셈

근호 앞에 계수가 있을 때 — 계수끼리, 근호끼리 따로 처리합니다.

$(a\sqrt{b}) \cdot (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$
Multiply coefficients with coefficients, radicals with radicals.

예시: $2\sqrt{3} \times 5\sqrt{2} = (2 \times 5)\sqrt{3 \times 2} = 10\sqrt{6}$. $3\sqrt{2} \times 4\sqrt{5} = 12\sqrt{10}$.

CRITICAL TECHNIQUE

근호 안과 밖의 이동

The most important technique in this lesson — pulling perfect squares out.

$\sqrt{12} = ?$ — 근호 안에서 빼내기

근호 안의 수를 가장 큰 제곱수 × 나머지로 분해하면, 제곱수 부분은 근호 밖으로 꺼낼 수 있습니다.

밖으로 빼기

$\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ ($a \ge 0$)

예시:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$

안으로 넣기

$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ ($a \ge 0$)

예시:
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$
$5\sqrt{3} = \sqrt{75}$
$2\sqrt{7} = \sqrt{28}$
$4\sqrt{5} = \sqrt{80}$

제곱수 목록 (외워두면 좋음): $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, \ldots$

INTERACTIVE

근호 계산기

Pick two roots and an operation — watch them combine.

RADICAL CALCULATOR

$\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$를 골라 계산해 보세요

입력

$a$ (근호 안의 수) $b$ (근호 안의 수) 연산

계산 결과

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16}$

= 4

완전제곱이므로 정수가 되었습니다

QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on multiplication and division of radicals.

Q · 01

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$의 값은?

풀이: $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$. $\sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$.

Q · 02

$\sqrt{12}$를 $a\sqrt{b}$ 꼴로 (b는 가장 간단한 형태)

풀이: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. $\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Q · 03

$\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$의 값은?

풀이: $\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$.

Q · 04

$\sqrt{75}$를 $a\sqrt{b}$ 꼴로

풀이: $75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$. $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

Q · 05

$3\sqrt{2} \times 2\sqrt{3}$의 값은?

풀이: 계수끼리, 근호끼리. $(3 \times 2)\sqrt{2 \times 3} = 6\sqrt{6}$.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Applying the rules step by step.

EXAMPLE · 01 · 근호 안 분해

$\sqrt{48}$을 $a\sqrt{b}$ 꼴로 (단 $b$는 가장 작은 자연수) 나타내라.

핵심: $48$ 안에서 가장 큰 제곱수를 찾아 분리.

STEP 1 · 인수분해

$48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$. (또는 $48 = 4 \cdot 12$로 시작해 더 분해해도 됨.)

STEP 2 · 근호 분해

$\sqrt{48} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

답: $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

EXAMPLE · 02 · 곱셈 활용

$\sqrt{8} \times \sqrt{18}$의 값을 구하라.

핵심: 곱셈공식 적용 후 근호 안 정리.

STEP 1 · 곱셈공식

$\sqrt{8} \times \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144}$.

STEP 2 · 근호 정리

$144 = 12^2$이므로 $\sqrt{144} = 12$.

답: $12$ (정수!)

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$의 값은? (예: √10)

힌트: $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

P · 02★

$\sqrt{12}$를 $a\sqrt{b}$ 꼴로 (예: 2√3)

힌트: $12 = 4 \cdot 3$.

P · 03★

$\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$의 값은?

힌트: $\sqrt{20/5} = \sqrt{4}$.

P · 04★★

$\sqrt{75}$를 $a\sqrt{b}$ 꼴로 (예: 5√3)

힌트: $75 = 25 \cdot 3$.

P · 05★★

$3\sqrt{2} \times 2\sqrt{3}$의 값은? (예: 6√6)

힌트: 계수끼리, 근호끼리.

P · 06★★

$\sqrt{48}$을 $a\sqrt{b}$ 꼴로 (예: 4√3)

힌트: $48 = 16 \cdot 3$.

P · 07★★★

$\sqrt{8} \times \sqrt{18}$의 값은?

힌트: $\sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144}$.

P · 08★★★

$\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$의 값은?

힌트: $\sqrt{72/2} = \sqrt{36}$.

LESSON WRAP-UP

한 줄 요약

근호의 곱셈·나눗셈은 — 근호 안에서 곱하기·나누기. 그리고 근호 안의 제곱수는 — 밖으로 꺼낼 수 있다. 이 두 도구로 모든 근호 식을 가장 간결한 형태 $a\sqrt{b}$로 정리할 수 있다.

√a·√b = √(ab) √a/√b = √(a/b) √(a²b) = a√b 제곱수 분리