1.2 직각삼각형의 합동 · 삼각형의 성질

HOOK

한 각이 직각이면 무엇이 달라질까?

A right angle is so powerful that it shortens the list of conditions for congruence.

1학년에서 우리는 두 삼각형이 합동임을 보이는 세 가지 도구 — SSS · SAS · ASA를 배웠습니다. 세 변, 또는 두 변과 끼인각, 또는 한 변과 양 끝각.

그런데 한 각이 직각이면 이야기가 달라집니다. 직각이라는 강력한 정보 덕분에 더 적은 정보로도 두 삼각형의 합동이 보장됩니다.

이 단원에서 만나는 두 개의 새로운 합동 조건은 RHA(Right-Hypotenuse-Acute, 빗변+한 예각)와 RHS(Right-Hypotenuse-Side, 빗변+한 변)입니다. 이 조건들은 일반 삼각형에는 없는 — 오직 직각삼각형에만 통하는 — 특별한 도구입니다.

직각 $\angle C = 90°$. 빗변은 직각의 대변 $\overline{AB}$.

CORE CONCEPT

두 개의 특수 합동 조건

RHA and RHS — the two congruence conditions unique to right triangles.

DEFINITION · 정의

직각삼각형의 구성 요소

한 각이 $90°$인 삼각형을 직각삼각형이라 합니다. 직각의 대변(가장 긴 변)을 빗변(hypotenuse), 나머지 두 변을 직각변(legs)이라 부릅니다. 그리고 직각이 아닌 두 각을 예각이라 합니다. 두 예각의 합은 항상 $90°$.

$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$, $\angle C = 90°$ ⟹ $\angle A + \angle B = 90°$
The two acute angles are complementary.

RHA

빗변 + 한 예각

빗변 $\overline{AB}$ 길이 같음
한 예각 ($\angle A$ 또는 $\angle B$) 같음

왜 합동? 직각 $90°$ + 한 예각이 같으면 세 번째 각도 결정됨. 따라서 두 변(빗변)과 양 끝각이 같음 → ASA 합동으로 환원.

RHS

빗변 + 다른 한 변

빗변 $\overline{AB}$ 길이 같음
다른 한 변 (예: $\overline{AC}$) 길이 같음

왜 합동? 빗변 $c$와 한 변 $b$가 같으면 피타고라스 정리로 나머지 변 $a = \sqrt{c^2 - b^2}$가 유일하게 결정됨 → 세 변이 모두 같음(SSS).

PROOF · RHS 증명

$\angle C = \angle F = 90°$, $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{AC} = \overline{DF}$인 두 직각삼각형 $\triangle ABC$, $\triangle DEF$는 합동임을 보이라.

풀이: 피타고라스 정리에 의해

$\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 - \overline{AC}^2$ (in $\triangle ABC$)
$\overline{EF}^2 = \overline{DE}^2 - \overline{DF}^2$ (in $\triangle DEF$)
가정에 의해 $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{AC} = \overline{DF}$이므로 두 식의 우변이 같다.
따라서 $\overline{BC}^2 = \overline{EF}^2$, 즉 $\overline{BC} = \overline{EF}$.

세 변이 모두 같으므로 SSS 합동에 의해 $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$. Q.E.D.

REFERENCE

합동 조건 비교표

All five congruence conditions side by side.

CONGRUENCE CONDITIONS · GENERAL vs RIGHT

일반 삼각형 vs 직각삼각형

조건

일반 삼각형

직각삼각형

SSS (세 변)

✓

SAS (두 변 + 끼인각)

✓

ASA (한 변 + 양 끝각)

✓

SSA (두 변 + 끼인각 아닌 각)

✗ (모호)

✓ (RHS, 직각이 보장)

RHA (빗변 + 한 예각)

— 직각 필요

✓

RHS (빗변 + 한 다리)

— 직각 필요

✓

💡 핵심: 일반 삼각형에서는 SSA가 모호해서 합동을 보장하지 못하지만, 직각이라는 강력한 조건이 추가되면 — 빗변과 한 변(SSA의 두 변)이 같을 때 — 나머지 변도 피타고라스로 결정되어 합동이 성립합니다. 이것이 RHS의 본질입니다.

QUICK CHECK

개념 확인 5

Five checks on RHA and RHS.

Q · 01

두 직각삼각형의 빗변과 한 예각이 각각 같을 때 적용되는 합동 조건은?

풀이: Right(직각) + Hypotenuse(빗변) + Acute(예각) = RHA.

Q · 02

두 직각삼각형의 빗변과 다른 한 변(직각변)이 각각 같을 때 적용되는 합동 조건은?

풀이: Right + Hypotenuse + Side = RHS.

Q · 03

$\angle C = 90°$인 직각삼각형에서 $\angle A = 35°$이면 $\angle B$의 크기는?

풀이: 두 예각의 합 = 90°. $\angle B = 90° - 35° = 55°$.

Q · 04

두 직각삼각형에서 빗변이 각각 $10$이고, 한 직각변이 각각 $6$이다. 두 삼각형은 합동인가?

풀이: 빗변 같음 + 한 변 같음 → RHS 합동. 나머지 변 = $\sqrt{100-36} = 8$로 일치.

Q · 05

한 직각삼각형은 빗변 $8$, 한 예각 $40°$. 다른 직각삼각형은 빗변 $8$, 다른 예각 $50°$. 두 삼각형은 합동인가?

풀이: 첫 삼각형의 다른 예각 $= 90° - 40° = 50°$. 두 번째와 같다. 즉 둘 다 같은 두 예각을 가짐 → RHA 합동.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Applying RHA and RHS to specific situations.

EXAMPLE · 01

$\angle C = 90°$인 $\triangle ABC$와 $\angle F = 90°$인 $\triangle DEF$에서 $\overline{AB} = \overline{DE} = 13$, $\overline{BC} = \overline{EF} = 5$. $\overline{AC}$의 길이와 두 삼각형의 합동 조건을 구하라.

핵심: 빗변 + 한 다리 → RHS.

STEP 1 · 합동 판정

$\angle C = \angle F = 90°$ (직각), $\overline{AB} = \overline{DE}$ (빗변), $\overline{BC} = \overline{EF}$ (한 다리) → RHS 합동.

STEP 2 · $\overline{AC}$ 계산

피타고라스 정리에 의해 $\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 - \overline{BC}^2 = 169 - 25 = 144$. 따라서 $\overline{AC} = 12$.

답: $\overline{AC} = 12$, 합동 조건 = RHS

EXAMPLE · 02

$\angle C = 90°$인 $\triangle ABC$에서 $\angle A = 30°$, $\overline{AB} = 10$. 또 다른 $\angle F = 90°$인 $\triangle DEF$에서 $\angle D = 30°$, $\overline{DE} = 10$. 두 삼각형은 합동인가? 어떤 조건인가?

핵심: 빗변 + 한 예각 → RHA.

STEP 1 · 정보 확인

두 삼각형 모두 직각 $90°$, 빗변 $\overline{AB} = \overline{DE} = 10$, 한 예각 $\angle A = \angle D = 30°$.

STEP 2 · 합동 판정

R(직각) + H(빗변) + A(예각) → RHA 합동 성립. 따라서 두 삼각형은 합동이다.

답: 합동이다. 합동 조건 = RHA

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

$\angle C = 90°$인 직각삼각형에서 $\angle A = 35°$이면 $\angle B$의 크기는?

힌트: 두 예각의 합 = $90°$.

P · 02★

직각삼각형의 빗변이 $10$, 한 다리가 $6$이다. 나머지 다리의 길이는?

힌트: $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64}$.

P · 03★

직각삼각형의 두 예각의 합은 몇 도인가?

힌트: 삼각형 내각의 합 $180° = 90° + (\angle A + \angle B)$.

P · 04★★

$\angle C = \angle F = 90°$, $\overline{AB} = \overline{DE} = 10$, $\angle B = \angle E = 60°$. 두 삼각형의 합동 조건은? (RHA 또는 RHS로 답)

힌트: 빗변 + 한 예각이 같다.

P · 05★★

$\angle C = \angle F = 90°$, $\overline{AB} = \overline{DE} = 13$, $\overline{AC} = \overline{DF} = 12$. 두 삼각형의 합동 조건은? (RHA 또는 RHS)

힌트: 빗변 + 다른 한 변이 같다.

P · 06★★

두 직각삼각형이 합동임을 보이는 데 직각 외에 필요한 최소 추가 정보의 개수는?

힌트: RHA = 빗변 + 한 예각(2개), RHS = 빗변 + 한 다리(2개).

P · 07★★★

$\angle C = 90°$, $\overline{AB} = 25$, $\overline{BC} = 7$인 직각삼각형의 둘레의 길이는?

힌트: $\overline{AC} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. 둘레 $= 25 + 7 + 24$.

P · 08★★★

$\angle C = 90°$, $\overline{AB} = 17$, $\overline{BC} = 8$인 $\triangle ABC$의 넓이는?

힌트: $\overline{AC} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. 넓이 $= \dfrac{1}{2} \times 8 \times 15$.

직각삼각형의 합동