Polyhedra — faces, edges, vertices
다각형이 여러 장 모여 만든 입체. 각기둥·각뿔·각뿔대, 그리고 그 안에 숨은 오일러의 공식.
종이상자, 피라미드, 다이아몬드 — 모두 다각형이라는 평면 조각들이 모여서 만들어진 입체도형입니다. 우리는 이런 입체도형을 다면체라고 부릅니다.
다면체에는 면(face), 모서리(edge), 꼭짓점(vertex)이 있습니다. 신기하게도 어떤 다면체든 — 작든 크든, 단순하든 복잡하든 — 이 세 수 사이에는 변하지 않는 한 가지 관계식이 있습니다. (꼭짓점) − (모서리) + (면) = $2$. 이 식이 오일러의 공식입니다.
"한 입체가 다면체이기만 하면, 그 안에는 $V - E + F = 2$라는 변치 않는 진리가 들어 있다." — Leonhard Euler, 1751
다면체(polyhedron): 다각형인 면들로만 둘러싸인 입체도형.
각 다각형을 면(face), 면과 면이 만나는 선분을 모서리(edge), 모서리들이 만나는 점을 꼭짓점(vertex)이라 한다.
면이 $n$개인 다면체를 $n$면체라 부릅니다. 사면체(4면), 오면체(5면), 육면체(6면), … 정육면체는 면이 6개이므로 가장 잘 알려진 육면체.
모든 면이 다각형이어야 합니다. 따라서:
중학교에서 다루는 다면체는 크게 세 가지 — 각기둥·각뿔·각뿔대.
두 밑면이 합동인 다각형이고 옆면이 직사각형. 삼각기둥·사각기둥·…
한 다각형 밑면과 한 점(꼭짓점)에서 만나는 삼각형 옆면들. 삼각뿔(=사면체)·사각뿔·…
각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라낸 후 꼭짓점 쪽을 제거한 도형. 두 밑면은 닮음.
| 도형 | 면 ($F$) | 모서리 ($E$) | 꼭짓점 ($V$) |
|---|---|---|---|
| $n$각기둥 | $n+2$ | $3n$ | $2n$ |
| $n$각뿔 | $n+1$ | $2n$ | $n+1$ |
| $n$각뿔대 | $n+2$ | $3n$ | $2n$ |
참고: 각뿔대는 각기둥과 면·모서리·꼭짓점의 개수가 같습니다. 단, 모양(옆면)이 다릅니다 — 각기둥은 직사각형, 각뿔대는 사다리꼴.
위 표의 모든 다면체에서 $V - E + F$를 계산해 보면 — 놀랍게도 모두 $2$가 됩니다.
확인해 봅시다 — $n$각기둥: $V = 2n$, $E = 3n$, $F = n+2$. 따라서 $V - E + F = 2n - 3n + (n+2) = 2$. ✓
$n$각뿔: $V = n+1$, $E = 2n$, $F = n+1$. 따라서 $V - E + F = (n+1) - 2n + (n+1) = 2$. ✓
도형의 종류와 $n$을 선택하면 면·모서리·꼭짓점의 개수와 오일러 공식 검산을 보여 줍니다.
다면체는 다각형 면으로만 이루어진 입체. 각기둥·각뿔·각뿔대의 면·모서리·꼭짓점 수는 식으로 표현되며, 모든 볼록다면체에서 $V - E + F = 2$.
다면체: 다각형 면으로만 둘러싸인 입체 (원기둥·원뿔·구 제외)
$n$각기둥: 면 $n+2$, 모서리 $3n$, 꼭짓점 $2n$
$n$각뿔: 면 $n+1$, 모서리 $2n$, 꼭짓점 $n+1$
오일러 공식: $V - E + F = 2$ (모든 볼록다면체)