LESSON 1.3 · UNIT Ⅴ-1
1.3

원과 부채꼴

Circle & Sector

한 점에서 같은 거리에 있는 모든 점의 모임 — 그 단순한 정의에서 호·현·부채꼴·활꼴이 모두 태어난다.

HOOK

왜 바퀴는 원일까?

네모난 바퀴를 단 마차는 덜컹거립니다. 삼각형 바퀴도 마찬가지. 그런데 원은 어떤 방향으로 굴려도 중심의 높이가 변하지 않습니다. 그 비밀은 "중심에서 원 위 어느 점까지의 거리가 모두 같다"는 한 가지 약속에 있습니다.

이 단순한 약속에서 호·현·부채꼴·활꼴이라는 풍부한 개념들이 모두 태어납니다. 그리고 "중심각이 두 배가 되면 호의 길이와 부채꼴의 넓이도 두 배가 된다"는 비례 관계가 자연스럽게 따라옵니다.

"원은 한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들이 만든 가장 완전한 도형이다." — 유클리드 원론 제1권 정의 15

CORE CONCEPT

원과 그 구성 요소

DEFINITION 01

원(circle): 평면 위에서 한 점 $\rm O$로부터 일정한 거리에 있는 모든 점들의 모임이다.

이때 점 $\rm O$를 원의 중심, 중심에서 원 위의 한 점까지의 거리를 반지름이라 하고, 반지름이 $r$인 원을 보통 "원 $\rm O$"라 부른다.

호 · 현 · 활꼴 · 부채꼴

A B
호 (arc)
$\overset{\frown}{\rm AB}$
A B
현 (chord)
$\overline{\rm AB}$
활꼴
활꼴 (segment)
현 + 호
부채꼴
부채꼴 (sector)
두 반지름 + 호
DEFINITION 02

호 $\overset{\frown}{\rm AB}$: 원 위의 두 점 $\rm A,B$ 사이의 원의 일부.

현 $\overline{\rm AB}$: 원 위의 두 점 $\rm A,B$를 잇는 선분. 특히 원의 중심을 지나는 현을 지름이라 한다. 지름은 가장 긴 현이며, 그 길이는 반지름의 $2$배.

활꼴: 현과 호로 둘러싸인 영역.

부채꼴: 두 반지름과 호로 둘러싸인 영역. 두 반지름이 이루는 각을 중심각이라 한다.

호의 표기와 소호·대호

원 위의 두 점 $\rm A,B$를 잡으면 호는 두 개 생깁니다. 보통은 더 짧은 쪽(소호)을 $\overset{\frown}{\rm AB}$로 적고, 더 긴 쪽(대호)을 표현할 때는 호 위의 한 점을 추가해 $\overset{\frown}{\rm APB}$처럼 적습니다.

PROPERTIES

중심각과 호·넓이의 관계

한 원에서 중심각의 크기가 두 배, 세 배, … 가 되면 그에 대응하는 호의 길이와 부채꼴의 넓이도 두 배, 세 배, … 가 됩니다.

PROPERTY 01
한 원에서 호의 길이와 부채꼴의 넓이는
중심각의 크기에 정비례한다.
즉, 중심각의 크기가 $a^\circ : b^\circ$이면
호의 길이의 비도 $a:b$, 부채꼴 넓이의 비도 $a:b$.
PROPERTY 02
한 원(또는 합동인 두 원)에서
중심각의 크기가 같으면 호의 길이가 같고,
호의 길이가 같으면 중심각의 크기가 같다.

현의 길이는 비례하지 않는다

⚠ 주의

현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않습니다. 예를 들어 중심각이 $60\degree$인 경우와 $120\degree$인 경우, 호의 길이는 정확히 $1:2$이지만 현의 길이는 그렇지 않습니다.

중심각이 $60\degree$일 때 현은 반지름과 같지만, 중심각이 $180\degree$일 때 현은 지름(반지름의 $2$배). 따라서 중심각이 $3$배가 되었는데 현은 $2$배에 그칩니다. 헷갈리지 않도록 — 호·넓이는 비례, 현은 비례하지 않음.

INTERACTIVE

중심각 슬라이더로 비례를 확인하자

중심각의 크기를 바꾸면 호의 길이와 부채꼴의 넓이가 정확히 같은 비율로 변하는 것을 확인할 수 있습니다.

SECTOR EXPLORER
O
90°
중심각
90°
호 / 원둘레
1/4
넓이 / 원
1/4
QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01
선택형
원의 중심에서 원 위의 한 점까지의 거리를 무엇이라 하는가?
Q-02
O/X
한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다.
Q-03
O/X
한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다.
Q-04
선택형
두 반지름과 호로 둘러싸인 영역을 무엇이라 하는가?
Q-05
수치 입력
한 원에서 중심각이 $30\degree$일 때 호의 길이가 $4$ cm라면, 같은 원에서 중심각이 $90\degree$일 때 호의 길이는 몇 cm인가?
WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01
한 원에서 중심각의 크기가 $40\degree$인 부채꼴의 호의 길이가 $6$ cm일 때, 같은 원에서 중심각의 크기가 $100\degree$인 부채꼴의 호의 길이를 구하시오.
한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 비례식을 세운다.
$40 : 100 = 6 : x$
$40x = 100 \times 6 = 600$, 따라서 $x = 15$.
▶ $15$ cm
EXAMPLE 02
한 원에서 중심각이 $60\degree$인 부채꼴의 넓이가 $8\pi$ cm²이다. 중심각이 $150\degree$인 부채꼴의 넓이를 구하시오.
부채꼴의 넓이도 중심각에 정비례하므로 $60 : 150 = 8\pi : S$.
$60 S = 150 \times 8\pi = 1200\pi$, 따라서 $S = 20\pi$.
▶ $20\pi$ cm²
PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★
선택형
원의 가장 긴 현을 무엇이라 하는가?
P-02 ★
선택형
현과 호로 둘러싸인 영역을 무엇이라 하는가?
P-03 ★
수치 입력
반지름이 $6$ cm인 원의 지름의 길이는 몇 cm인가?
P-04 ★★
수치 입력
한 원에서 중심각의 크기가 $45\degree$인 부채꼴의 호의 길이가 $3$ cm이다. 중심각이 $135\degree$인 호의 길이는 몇 cm인가?
P-05 ★★
수치 입력
한 원에서 호의 길이가 $5$ cm인 부채꼴의 중심각이 $50\degree$일 때, 호의 길이가 $8$ cm인 부채꼴의 중심각의 크기는 몇 도인가?
P-06 ★★
O/X
한 원에서 중심각의 크기가 $2$배가 되면 부채꼴의 넓이도 $2$배가 된다.
P-07 ★★★
수치 입력
한 원에서 두 부채꼴의 호의 길이의 비가 $2:3$이고, 작은 쪽의 중심각이 $60\degree$일 때 큰 쪽의 중심각의 크기는 몇 도인가?
P-08 ★★★
O/X
한 원에서 중심각의 크기가 $3$배가 되면 그에 대응하는 현의 길이도 정확히 $3$배가 된다.
WRAP-UP

1.3 원과 부채꼴 — 핵심 정리

원은 가장 단순한 정의에서 시작합니다 — "한 점에서 같은 거리에 있는 모든 점". 그 속에서 호·현·부채꼴·활꼴이 태어나고, 중심각이라는 한 가지 척도로 호와 넓이가 정확히 비례합니다.

POINT 1

원의 구성: 중심·반지름·지름(가장 긴 현)

POINT 2

호 + 현 = 활꼴, 두 반지름 + 호 = 부채꼴, 두 반지름이 이루는 각 = 중심각

POINT 3

중심각 ∝ 호의 길이 ∝ 부채꼴의 넓이 (정비례)

POINT 4

주의: 현의 길이는 중심각에 정비례하지 않음

↑ Ⅴ-1. 평면도형 차례로