LESSON 1.2 · UNIT Ⅴ-1
1.2

다각형의 각

Interior & Exterior Angles

$n$각형의 내각의 합과 외각의 합은 어떤 식으로 표현될까? 변의 수가 늘어도 변치 않는 한 가지 마법이 있다.

HOOK

$n$이 늘어나도 변하지 않는 것

삼각형의 내각의 합은 $180\degree$. 사각형은 $360\degree$. 오각형은 $540\degree$. 다각형의 내각의 합은 변의 수가 늘어날수록 점점 커집니다. 그런데 외각의 합은 어떨까요?

놀랍게도, 모든 볼록다각형의 외각의 합은 변의 수와 상관없이 항상 $360\degree$입니다. 왜 그럴까요? 다각형의 둘레를 따라 한 바퀴 도는 동안 회전한 각도의 합이 곧 외각의 합이기 때문입니다 — 한 바퀴는 언제나 한 바퀴니까요.

"꼭짓점이 많아도, 적어도, 다각형의 외각의 합은 언제나 한 바퀴($360\degree$)다."

CORE CONCEPT

다각형의 내각의 합

삼각형의 내각의 합은 $180\degree$입니다. 이를 출발점으로 모든 다각형의 내각의 합을 구해 봅시다.

대각선으로 삼각형 나누기

$n$각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 모든 꼭짓점과 이어 보면, 다각형이 $(n-2)$개의 삼각형으로 나누어집니다.

예: 사각형 → 2개, 오각형 → 3개, 육각형 → 4개의 삼각형.

각 삼각형의 내각의 합이 $180\degree$이고, 그 합이 곧 $n$각형의 내각의 합이 됩니다.

오각형 = 3 △ 육각형 = 4 △ 칠각형 = 5 △
FORMULA 01
$n$각형의 내각의 합 $= (n-2) \times 180\degree$
변의 수 $n$이 1 늘어날 때마다 내각의 합은 $180\degree$씩 늘어난다.

다각형의 외각의 합

각 꼭짓점에서 (내각) + (외각) = $180\degree$이므로, $n$개의 꼭짓점에서 (내각 + 외각)의 총합은 $180n\degree$입니다. 여기서 내각의 합 $(n-2) \times 180\degree$를 빼면:

$$180n\degree - (n-2) \times 180\degree = 180n\degree - 180n\degree + 360\degree = 360\degree$$

FORMULA 02
$n$각형의 외각의 합 $= 360\degree$
변의 수 $n$과 상관없이 항상 $360\degree$로 일정하다.

정 다각형의 한 내각·한 외각

정$n$각형은 모든 내각·외각의 크기가 같으므로, 한 내각·한 외각의 크기는 합을 $n$으로 나눠서 구합니다.

FORMULA 03
정$n$각형의 한 내각 $= \dfrac{(n-2) \times 180\degree}{n}$
정$n$각형의 한 외각 $= \dfrac{360\degree}{n}$
한 외각이 한 내각보다 식이 훨씬 단순하므로, 정다각형을 다룰 때는 외각부터 구하는 것이 유리합니다.
INTERACTIVE

정$n$각형 각 계산기

$n$의 값을 바꾸어 보면서, 내각의 합·외각의 합·한 내각·한 외각이 어떻게 변하는지 확인해 봅니다. 한 외각의 크기만이 $n$이 커질수록 작아지고, 외각의 합은 변하지 않습니다.

ANGLE EXPLORER
6
내각의 합
720°
외각의 합
360°
한 내각
120°
한 외각
60°
QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01
수치 입력
사각형의 내각의 합은 몇 도인가? (수만 입력)
Q-02
수치 입력
정육각형의 한 내각의 크기는 몇 도인가?
Q-03
O/X
$n$이 커질수록 다각형의 외각의 합도 함께 커진다.
Q-04
수치 입력
정팔각형의 한 외각의 크기는 몇 도인가?
Q-05
선택형
한 외각의 크기가 $60\degree$인 정다각형은?
WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01
정십각형의 한 내각과 한 외각의 크기를 각각 구하시오.
먼저 한 외각의 크기를 구한다. 한 외각 $= \dfrac{360\degree}{n} = \dfrac{360\degree}{10} = 36\degree$.
한 내각은 $180\degree$에서 한 외각을 빼면 된다. 한 내각 $= 180\degree - 36\degree = 144\degree$.
(다른 방법) 한 내각 $= \dfrac{(10-2) \times 180\degree}{10} = \dfrac{1440\degree}{10} = 144\degree$. — 결과가 일치한다.
▶ 한 내각 $144\degree$, 한 외각 $36\degree$
EXAMPLE 02
한 내각의 크기가 $156\degree$인 정다각형은 몇 각형인가?
한 내각이 $156\degree$이면 한 외각은 $180\degree - 156\degree = 24\degree$.
정$n$각형의 한 외각 $= \dfrac{360\degree}{n} = 24\degree$이므로 $n = \dfrac{360}{24} = 15$.
▶ 정십오각형
PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★
수치 입력
칠각형의 내각의 합은 몇 도인가? (수만 입력)
P-02 ★
수치 입력
정구각형의 한 외각의 크기는 몇 도인가?
P-03 ★
수치 입력
정사각형의 한 내각의 크기는 몇 도인가?
P-04 ★★
선택형
한 내각의 크기가 $150\degree$인 정다각형은?
P-05 ★★
수치 입력
정$n$각형의 한 외각의 크기가 $24\degree$일 때 $n$의 값을 구하시오.
P-06 ★★
수치 입력
내각의 합이 $1800\degree$인 다각형은 몇 각형인가? (수만 입력)
P-07 ★★★
수치 입력
한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 비가 $7:2$인 정다각형은 정몇각형인가? (수만 입력)
P-08 ★★★
수치 입력
한 내각의 크기가 한 외각의 크기의 $8$배인 정다각형은 정몇각형인가? (수만 입력)
WRAP-UP

1.2 다각형의 각 — 핵심 정리

내각의 합은 변의 수에 따라 늘어나지만, 외각의 합은 언제나 $360\degree$. 이 두 식과 정다각형의 한 내각·외각 공식을 합치면 어떤 문제든 풀 수 있습니다.

POINT 1

$n$각형의 내각의 합 = $(n-2) \times 180\degree$

POINT 2

$n$각형의 외각의 합 = $360\degree$ (항상)

POINT 3

정$n$각형의 한 외각 = $\dfrac{360\degree}{n}$

POINT 4

정$n$각형의 한 내각 = $180\degree - \dfrac{360\degree}{n}$ — 외각부터 구하는 것이 빠름

↑ Ⅴ-1. 평면도형 차례로