다각형의 정의
다각형(polygon)이란 세 개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 말한다. 이때 다각형을 이루는 선분을 변, 변과 변이 만나는 점을 꼭짓점이라 한다.
변이 3개이면 삼각형, 4개이면 사각형, 5개이면 오각형, … 변이 $n$개인 다각형을 $n$각형이라 합니다.
다음 조건을 모두 만족해야 다각형입니다.
- 모든 변은 선분이어야 한다 (곡선은 안 됨 → 원은 다각형이 아님).
- 닫혀 있어야 한다 (시작점과 끝점이 일치).
- 변끼리 교차하지 않아야 한다 (별 모양처럼 교차하면 다각형이 아님).
내각과 외각
내각: 다각형의 이웃한 두 변이 다각형의 내부 쪽에서 이루는 각.
외각: 다각형의 한 변을 연장한 반직선과 그 이웃한 변이 이루는 각. 한 꼭짓점에서 내각의 크기와 외각의 크기의 합은 항상 $180\degree$이다.
한 꼭짓점에는 내각이 하나, 외각이 두 개 그릴 수 있지만 두 외각은 맞꼭지각으로 크기가 같으므로 보통 한 개만 다룹니다.
정 다각형
정다각형(regular polygon)은 다음 두 조건을 모두 만족하는 다각형이다.
① 모든 변의 길이가 같다.
② 모든 내각의 크기가 같다.
둘 중 하나만 만족하면 정다각형이 아닙니다. 예를 들어 마름모는 모든 변이 같지만 내각이 다를 수 있고, 직사각형은 내각이 모두 같지만 변의 길이가 다를 수 있습니다.
대 각선
대각선은 다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 잇는 선분이다.
$n$각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 $(n-3)$개입니다. — 자기 자신($-1$), 이웃한 두 꼭짓점($-2$)을 빼야 하기 때문입니다.
$n$각형의 대각선의 총 개수는 $\dfrac{n(n-3)}{2}$입니다. — 각 꼭짓점에서 $(n-3)$개씩 그릴 수 있지만, 각 대각선이 두 꼭짓점에서 중복으로 세어지기 때문에 2로 나눕니다.