"포개면 정확히 일치한다" — 두 도형이 같다는 것의 수학적 정의.
"이 두 삼각형은 같은 삼각형일까요?" — 일상적으로 던지는 질문, 그러나 수학에서는 엄밀한 정의가 필요합니다.
두 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle DEF$를 회전·이동·뒤집기로 정확히 겹쳐 놓을 수 있다면, 두 삼각형은 합동이라 합니다.
합동의 핵심: 모양과 크기가 완전히 같다는 것. 단순히 비슷한 게 아닙니다.
표기: $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$.
한 도형을 회전·이동·뒤집어서 다른 도형과 완전히 포갤 수 있을 때, 두 도형은 합동이라 한다.
두 도형 $P$와 $Q$가 합동이라는 것을 다음과 같이 표기한다:
합동 기호 $\equiv$ 또는 $\cong$를 사용한다. (한국 교과서에서는 주로 $\equiv$.)
• 합동: 모양 + 크기 모두 같음. 완전히 같은 도형.
• 닮음: 모양만 같고 크기는 다를 수 있음 (예: 큰 정사각형과 작은 정사각형).
합동은 닮음의 특수한 경우로, 닮음 비율이 $1:1$일 때.
두 합동 도형을 포갰을 때 서로 정확히 겹쳐지는 변과 각을 짝짓는 일.
합동 기호를 쓸 때 꼭짓점의 순서가 대응을 나타냅니다. $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
| $\triangle ABC$ | $\triangle DEF$ | 의미 |
|---|---|---|
| 꼭짓점 $A$ | $D$ | 대응 꼭짓점 |
| 꼭짓점 $B$ | $E$ | 대응 꼭짓점 |
| 꼭짓점 $C$ | $F$ | 대응 꼭짓점 |
| 변 $\overline{AB}$ | $\overline{DE}$ | 대응변 |
| 변 $\overline{BC}$ | $\overline{EF}$ | 대응변 |
| 변 $\overline{CA}$ | $\overline{FD}$ | 대응변 |
| 각 $\angle A$ | $\angle D$ | 대응각 |
| 각 $\angle B$ | $\angle E$ | 대응각 |
| 각 $\angle C$ | $\angle F$ | 대응각 |
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$라고 쓸 때, $A$가 $D$에 대응, $B$가 $E$에 대응, $C$가 $F$에 대응한다는 의미가 자동으로 들어 있습니다.
만약 같은 두 삼각형이지만 대응을 $A \to E$, $B \to F$, $C \to D$로 잡고 싶다면 $\triangle ABC \equiv \triangle EFD$로 써야 합니다.
두 도형이 합동이면 (예: $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$):
① 대응변의 길이가 서로 같다:
$\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{BC} = \overline{EF}$, $\overline{CA} = \overline{FD}$.
② 대응각의 크기가 서로 같다:
$\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$.
역으로, 두 도형의 모든 대응변과 대응각이 같으면 두 도형은 합동이다. 즉:
합동 ⇔ 모든 대응변 같음 + 모든 대응각 같음
다음 차시에서는 모든 6쌍을 일일이 확인하지 않아도, 3쌍만 확인하면 합동임을 알 수 있는 합동조건 (SSS·SAS·ASA)을 배웁니다.
두 합동 삼각형이 주어졌습니다. 아래 표기에서 각 요소에 대응하는 짝을 선택해 보세요.
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$일 때, $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 6$, $\overline{CA} = 7$, $\angle A = 50°$, $\angle B = 60°$라고 한다.
두 도형이 완전히 포개지면 합동 ($\equiv$). 합동이면 대응변의 길이와 대응각의 크기가 모두 같다.