일차방정식의 활용

PROLOGUE · 왜 활용인가

진짜 어려운 건 식 세우기

방정식 풀이 자체는 단순한 절차입니다. 진짜 도전은 일상 문제를 식으로 옮기는 것 — 그것이 수학의 위력입니다.

CORE INSIGHT · 핵심 통찰

"수학적 모델링"이라는 도구

문제를 식으로 옮기는 것을 수학적 모델링이라 부릅니다. 모델이 정확하면 식을 풀어 답을 얻을 수 있고, 그 답이 다시 현실 문제의 답이 됩니다.

현실 문제 → ① 식으로 변환 → ② 식 풀기 → ③ 현실에 답 적용 → 검증

WHY · 왜 중요한가

일차방정식의 진짜 가치

"3x + 5 = 14를 풀어라"는 단순 연습입니다. 하지만 "친구와 내가 함께 12개의 사과를 나누는데 친구가 나보다 2개 더 가졌다. 내가 몇 개?" 같은 문장은 다릅니다.

이 문장을 보고 "나의 개수를 $x$로 놓으면 친구는 $x + 2$, 합이 12이므로 $x + (x + 2) = 12$"라고 식을 세우는 게 핵심 능력. 이 능력이 일차방정식 전체 단원의 정점입니다.

METHOD · 4단계 절차

활용 문제 풀이의 4단계

어떤 문장제든 같은 4단계로 접근합니다.

📋 활용 문제 풀이의 정석

문제 이해

무엇을 구하는지, 주어진 정보가 무엇인지 파악. 천천히 한 번 더 읽기.

$x$ 설정

구하려는 것 또는 핵심 미지수를 $x$로 놓기. 단위 명확히.

식 세우기

문장 속 관계를 등식으로 표현. = 가 되는 양쪽을 찾기.

풀고 확인

2.3에서 배운 절차로 풀기. 답이 문제 상황에 맞는지 확인.

TIP · 식 세우기의 비결

"= 이 되는 두 양을 찾아라"

활용 문제의 핵심은 등식 좌우의 두 양을 찾는 것입니다.

• "합이 ~이다" → 두 값의 합 = 주어진 값
• "~배 더 많다" → 한 양 = 다른 양 × 비율 또는 차
• "같다" → 두 표현이 직접 = 로 연결
• "전체가 ~이다" → 부분들의 합 = 전체

PATTERNS · 유형별 접근법

자주 만나는 5가지 유형

활용 문제는 유형이 정해져 있습니다. 각 유형의 핵심 공식과 식 세우기 방법을 익혀 두세요.

TYPE 1 · 수에 관한 문제

연속한 수, 자릿수

연속한 3개의 정수: $x-1,\ x,\ x+1$
연속한 짝수/홀수: $x,\ x+2,\ x+4$
두 자리 수: $10a + b$ (십·일의 자리)

"합이 ~", "차가 ~" 같은 표현이 단서. 평균값을 $x$로 두면 편리.

TYPE 2 · 나이에 관한 문제

$n$년 후, $n$년 전

현재 나이 $x$세 → $n$년 후 $x + n$세
아빠 나이 = 자식 나이의 $k$배 시점

"몇 년 후", "몇 년 전"을 정확히 처리. 시점에 따라 모든 사람 나이가 같은 만큼 변함.

TYPE 3 · 도형 / 길이

둘레, 넓이, 길이 관계

직사각형 둘레 = $2(가로 + 세로)$
삼각형 넓이 = $\dfrac{1}{2} \times 밑변 \times 높이$
전체 끈 = 부분 끈들의 합

"가로가 세로보다 ~ 길다" 같은 관계를 식으로. 도형 그림을 그려 보는 게 큰 도움.

TYPE 4 · 거리·속력·시간

$ 거리 = 속력 \times 시간 $

거리 $=$ 속력 $\times$ 시간
시간 $=$ 거리 $\div$ 속력
속력 $=$ 거리 $\div$ 시간

표를 그려 정리하면 좋음. 단위(km/h, m/min)와 시간 단위 통일 필수!

TYPE 5 · 농도 · 가격

퍼센트와 비율

소금의 양 $=$ 소금물 $\times \dfrac{농도}{100}$
할인가 $=$ 정가 $\times \left(1 - \dfrac{할인율}{100}\right)$

"섞기 전 = 섞은 후" — 소금의 양은 변하지 않음을 활용.

EXAMPLES · 단계별 풀이

예제로 다지기

제목을 클릭하면 풀이가 펼쳐집니다.

EXAMPLE 1 수에 관한 문제 — 연속한 정수의 합

연속한 세 정수의 합이 60일 때, 가장 큰 정수를 구하시오.

STEP 1 (이해). 연속한 정수 세 개, 합이 60. 가장 큰 것을 알고 싶음.

STEP 2 ($x$ 설정). 가운데 정수를 $x$로 놓으면 세 정수는 $x - 1,\ x,\ x + 1$.

STEP 3 (식). $(x - 1) + x + (x + 1) = 60$.

STEP 4 (풀이). $3x = 60$ → $x = 20$. 세 정수: 19, 20, 21. 가장 큰 정수는 21.

검증. $19 + 20 + 21 = 60$ ✓

가장 큰 정수는 21.

EXAMPLE 2 나이에 관한 문제

현재 어머니의 나이는 45세, 딸의 나이는 13세이다. 어머니의 나이가 딸의 나이의 3배가 되는 것은 몇 년 후인가?

STEP 1 (이해). 현재 차이는 32세. 시간이 지나도 두 사람 모두 같은 만큼 늙음.

STEP 2 ($x$ 설정). $x$년 후라고 하자.
$x$년 후 어머니: $45 + x$세, 딸: $13 + x$세.

STEP 3 (식). "어머니가 딸의 3배" → $45 + x = 3(13 + x)$.

STEP 4 (풀이). $45 + x = 39 + 3x$ → $45 - 39 = 3x - x$ → $6 = 2x$ → $x = 3$.

검증. 3년 후 어머니 48, 딸 16. $48 = 3 \times 16$ ✓

3년 후

EXAMPLE 3 도형 — 직사각형 둘레

가로가 세로보다 4 cm 더 긴 직사각형의 둘레가 32 cm일 때, 세로의 길이를 구하시오.

STEP 1 (이해). 가로 = 세로 + 4. 둘레 = $2(가로 + 세로)$ = 32.

STEP 2 ($x$ 설정). 세로 = $x$ cm. 그러면 가로 = $x + 4$ cm.

STEP 3 (식). $2(x + (x + 4)) = 32$ → $2(2x + 4) = 32$.

STEP 4 (풀이). $4x + 8 = 32$ → $4x = 24$ → $x = 6$.

검증. 세로 6, 가로 10. 둘레 $2(10 + 6) = 32$ ✓

세로 6 cm (가로는 10 cm)

EXAMPLE 4 거리·속력·시간 — 마주 보고 출발

A와 B가 서로 90 km 떨어진 두 지점에서 동시에 출발해 마주 보고 달린다. A는 시속 50 km, B는 시속 40 km로 달릴 때, 둘이 만나는 데 걸리는 시간은?

STEP 1 (이해). 두 사람이 동시에 출발해 마주 보고 가면, 두 사람의 이동 거리의 합 = 두 지점 사이의 거리.

STEP 2 ($x$ 설정). 만날 때까지 걸린 시간을 $x$시간이라 하자.
A의 이동 거리: $50x$ km
B의 이동 거리: $40x$ km

STEP 3 (식). 두 거리의 합 = 90: $50x + 40x = 90$.

STEP 4 (풀이). $90x = 90$ → $x = 1$.

검증. 1시간 후 A는 50 km, B는 40 km 이동. 합 90 km. ✓

1시간 후 만난다.

EXAMPLE 5 농도 — 소금물 섞기

8% 농도의 소금물 200 g과 4% 농도의 소금물 $x$ g을 섞었더니 6% 농도의 소금물이 되었다. $x$의 값은?

STEP 1 (이해). 핵심 원리: 섞기 전 소금의 합 = 섞은 후 소금의 양.

STEP 2 ($x$ 설정). 4% 소금물의 양 = $x$ g.
소금의 양:
• 8% 200 g 안의 소금: $200 \times \dfrac{8}{100} = 16$ g
• 4% $x$ g 안의 소금: $x \times \dfrac{4}{100} = \dfrac{4x}{100}$ g
• 섞은 후 ($200 + x$) g 안의 소금: $(200 + x) \times \dfrac{6}{100}$ g

STEP 3 (식). $16 + \dfrac{4x}{100} = \dfrac{6(200 + x)}{100}$.

STEP 4 (풀이). 양변 ×100: $1600 + 4x = 1200 + 6x$. 이항: $400 = 2x$ → $x = 200$.

검증. 200 g + 200 g = 400 g. 소금 16 + 8 = 24 g. 농도 24/400 = 6%. ✓

$x = 200$ g

PRACTICE · 난이도별 연습 문제

스스로 풀어보기

★부터 ★★★까지. 막히면 [풀이 보기]를 눌러 단계별 해설을 확인하세요.

★기본

★★응용

★★★심화

PROBLEM 01★ 기본

어떤 수에 5를 더한 후 3을 곱했더니 24가 되었다. 이 수를 구하시오.

SOLUTION · 풀이

$x$ 설정. 어떤 수 = $x$.

식. $(x + 5) \times 3 = 24$, 즉 $3(x + 5) = 24$.

풀이. 분배: $3x + 15 = 24$. 이항: $3x = 9$. 양변 ÷ 3: $x = 3$.

검증. $(3 + 5) \times 3 = 8 \times 3 = 24$ ✓

$x = 3$

PROBLEM 02★ 기본

연속한 두 짝수의 합이 38일 때, 두 짝수를 구하시오.

SOLUTION · 풀이

$x$ 설정. 작은 짝수를 $x$로 놓으면, 다음 짝수는 $x + 2$.

식. $x + (x + 2) = 38$.

풀이. $2x + 2 = 38$ → $2x = 36$ → $x = 18$.

두 짝수. 18과 20.

참고: 연속한 짝수(또는 홀수)는 2씩 떨어져 있습니다. 연속한 정수는 1씩 떨어짐.

18, 20

PROBLEM 03★ 기본

현재 형은 18세, 동생은 12세이다. 몇 년 전에 형의 나이가 동생의 나이의 2배였는가?

SOLUTION · 풀이

$x$ 설정. $x$년 전이라고 하자.
$x$년 전 형: $18 - x$세, 동생: $12 - x$세.

식. "형 = 동생 × 2" → $18 - x = 2(12 - x)$.

풀이. $18 - x = 24 - 2x$ → $-x + 2x = 24 - 18$ → $x = 6$.

검증. 6년 전 형 12, 동생 6. $12 = 2 \times 6$ ✓

6년 전

PROBLEM 04★★ 응용

한 변의 길이가 $x$ cm인 정사각형의 둘레가 같은 한 변의 길이가 $x$ cm인 정삼각형 둘레보다 12 cm 길다. $x$의 값을 구하시오.

SOLUTION · 풀이

각 도형의 둘레. 정사각형 둘레 = $4x$ cm. 정삼각형 둘레 = $3x$ cm.

식. "정사각형 둘레 = 정삼각형 둘레 + 12" → $4x = 3x + 12$.

풀이. $4x - 3x = 12$ → $x = 12$.

$x = 12$ cm

PROBLEM 05★★ 응용

시속 4 km로 걸어서 출발한 후, 그 30분 뒤에 시속 12 km로 자전거를 타고 같은 방향으로 추격한다. 자전거가 출발한 지 몇 분 후에 도보를 따라잡는가?

SOLUTION · 풀이

$x$ 설정. 자전거가 출발한 후 따라잡는 데 걸리는 시간을 $x$시간이라 하자.

거리 = 같다. 도보가 출발할 때부터의 거리 = 자전거가 출발할 때부터의 거리.
도보 시간: $x + 0.5$시간 (먼저 30분 = 0.5시간 출발).
도보 거리: $4(x + 0.5)$ km.
자전거 거리: $12 x$ km.

식. $4(x + 0.5) = 12x$.

풀이. $4x + 2 = 12x$ → $-8x = -2$ → $x = 0.25$ 시간 = 15분.

검증. 자전거: 12 × 0.25 = 3 km. 도보: 4 × 0.75 = 3 km. ✓

"따라잡기 / 추격 문제" → 두 사람의 이동 거리가 같다는 식

15분 후

PROBLEM 06★★ 응용

12% 농도의 소금물 300 g에서 물을 증발시켜 15% 농도의 소금물을 만들려고 한다. 몇 g의 물을 증발시켜야 하는가?

SOLUTION · 풀이

핵심 원리. 물만 증발 → 소금의 양은 변하지 않음.

$x$ 설정. 증발시킬 물의 양을 $x$ g이라 하자.
증발 후 소금물의 전체 양: $(300 - x)$ g.

소금의 양 비교.
증발 전 소금: $300 \times \dfrac{12}{100} = 36$ g.
증발 후 소금: $(300 - x) \times \dfrac{15}{100}$.
두 값이 같아야 함.

식. $36 = \dfrac{15(300 - x)}{100}$. 양변 ×100: $3600 = 15(300 - x) = 4500 - 15x$.

풀이. $15x = 4500 - 3600 = 900$ → $x = 60$.

검증. 증발 후 240 g. 소금 36 g. 농도 $36/240 \times 100 = 15\%$ ✓

60 g 증발

PROBLEM 07★★★ 심화

두 자리의 자연수가 있다. 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 원래 수보다 27 작다. 또, 두 자리 숫자의 합은 13이다. 이 두 자리 자연수를 구하시오.

SOLUTION · 풀이

자릿수 표기. 십의 자리 $a$, 일의 자리 $b$일 때 원래 수 = $10a + b$. 자리 바꾼 수 = $10b + a$.

$x$ 설정. 일의 자리 숫자를 $x$로 놓자. 자릿수의 합이 13이므로 십의 자리는 $13 - x$.

원래 수와 바꾼 수.
원래 수: $10(13 - x) + x = 130 - 10x + x = 130 - 9x$.
바꾼 수: $10x + (13 - x) = 10x + 13 - x = 9x + 13$.

식. "바꾼 수가 27 작다" → 바꾼 수 = 원래 수 − 27.
$9x + 13 = (130 - 9x) - 27$
$9x + 13 = 103 - 9x$

풀이. $18x = 90$ → $x = 5$.
일의 자리 5, 십의 자리 $13 - 5 = 8$. 원래 수 85.

검증. 자리 바꾼 수 58. $85 - 58 = 27$ ✓ 자릿수 합 $8 + 5 = 13$ ✓

PROBLEM 08★★★ 심화

학생들에게 사탕을 나누어 주는데, 한 사람에게 4개씩 나누어 주면 6개가 남고, 5개씩 나누어 주면 3개가 부족하다. 학생 수와 사탕 수를 각각 구하시오.

SOLUTION · 풀이

$x$ 설정. 학생 수를 $x$명이라 하자.

사탕 수 표현 (두 방법).
4개씩 + 6개 남음: 사탕 = $4x + 6$.
5개씩 + 3개 부족: 사탕 = $5x - 3$.

식. 두 표현이 같은 양 → $4x + 6 = 5x - 3$.

풀이. $-x = -9$ → $x = 9$.

사탕 수. $4 \times 9 + 6 = 42$. 또는 $5 \times 9 - 3 = 42$. 동일 ✓

"남고/부족" 문제 — 같은 전체를 다른 방식으로 표현해 등식 만들기

학생 9명, 사탕 42개

진짜 어려운 건 식 세우기

"수학적 모델링"이라는 도구

일차방정식의 진짜 가치

활용 문제 풀이의 4단계

📋 활용 문제 풀이의 정석

문제 이해

$x$ 설정

식 세우기

풀고 확인

"= 이 되는 두 양을 찾아라"

자주 만나는 5가지 유형

연속한 수, 자릿수

$n$년 후, $n$년 전

둘레, 넓이, 길이 관계

$ 거리 = 속력 \times 시간 $

퍼센트와 비율

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오늘 배운 것

4단계 절차

= 의 양쪽

5가지 유형

답의 적절성 검증