"어떤 일차방정식이든 같은 5단계로 풀린다." 표준 절차 하나만 익히면, 분수든 소수든 괄호든 모두 정복.
$x$에 대한 일차식만으로 이루어진 방정식. 정리하면 항상 $ax + b = 0$ ($a \ne 0$) 형태로 표현됩니다.
방정식의 모든 항을 한쪽 변으로 모았을 때 $ax + b = 0$ (단, $a \ne 0$) 꼴로 정리되는 방정식을 $x$에 대한 일차방정식이라고 합니다.
이미 우리는 다음을 알고 있습니다:
• 등식의 성질: 양변에 같은 조작을 가해도 등식 유지
• 이항: 한 항을 부호 바꿔 반대 변으로
• 동류항 정리: 같은 항끼리 모아 계수만 더하기
• 분배법칙: 괄호 풀기
이번 차시에서는 이 네 가지를 한 절차로 통합해, 어떤 일차방정식이든 풀어내는 표준 레시피를 만듭니다.
아래 5단계를 차례대로 따르면, 어떤 일차방정식이든 풀 수 있습니다.
$a(b + c)$ 형태의 괄호를 모두 펼칩니다.
$2(x + 3) = 7$ → $2x + 6 = 7$분수는 분모의 최소공배수, 소수는 10·100 등을 양변에 곱합니다.
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$ → ×6 → $3x + 2x = 30$미지수는 한쪽에, 숫자는 반대쪽에. 부호 바꿔 옮기기.
$5x + 2 = 3x + 8$ → $5x - 3x = 8 - 2$좌변과 우변에서 같은 항끼리 합쳐 단순화.
$5x - 3x = 8 - 2$ → $2x = 6$$ax = b$를 $x = b/a$로 마무리. 계수가 0이 아니면 항상 가능.
$2x = 6$ → ÷2 → $x = 3$풀이가 끝났다고 끝이 아닙니다. 구한 해를 원래 방정식의 양변에 대입해 좌변과 우변이 같은지 확인하세요. 1분 투자로 실수를 잡을 수 있습니다.
방정식을 하나 골라 [다음 단계]를 차근차근 눌러 보세요. 5단계 절차가 색깔별로 시각화됩니다.
아래 8가지 방정식 중 하나를 선택한 뒤, [다음 단계]를 눌러 단계별 풀이를 확인하세요.
대부분의 일차방정식은 해가 정확히 하나입니다. 하지만 가끔 해가 무수히 많거나 해가 없는 경우도 만나게 됩니다.
양변이 본질적으로 같은 식이면 모든 실수가 해입니다. (= 항등식)
좌변이 항상 0이 되는데 우변은 0이 아닐 때, 해가 존재하지 않습니다.
식을 정리한 끝에 $ax = b$가 나왔을 때:
• $a \ne 0$: 해가 정확히 하나 ($x = b/a$).
• $a = 0$이고 $b = 0$: $0 = 0$ → 항상 참 → 해가 무수히 많음.
• $a = 0$이고 $b \ne 0$: $0 = b$ → 항상 거짓 → 해가 없음.
개념을 제대로 익혔는지 5문제로 즉시 확인합니다.
제목을 클릭하면 풀이가 펼쳐집니다.
★부터 ★★★까지. 막히면 [풀이 보기]를 눌러 단계별 해설을 확인하세요.
표준 5단계 절차로 어떤 일차방정식이든 풀 수 있게 되었습니다. 다음 차시에서는 실생활 문제에 적용해 봅니다.
괄호 → 분수·소수 제거 → 이항 → 동류항 정리 → 양변 나누기
분모들의 최소공배수를 양변에 곱해 분수를 없앤다.
$0 \cdot x = 0$ → 해 무수. $0 \cdot x = c$ ($c \ne 0$) → 해 없음.
구한 해를 원 방정식에 대입해 양변 일치 확인.