"양변에 같은 조작을 하면 균형은 깨지지 않는다." 저울의 비유 하나로 모든 방정식 풀이가 가능해집니다.
방정식 $x + 3 = 7$은 양쪽이 정확히 균형 잡힌 저울입니다. 어떻게 하면 균형을 유지하면서 $x$만 한쪽에 남길 수 있을까요?
"저울이 평형을 이루고 있다면, 양쪽에서 똑같은 양을 더하거나 빼도 평형은 유지된다."
양변에서 3을 동시에 빼면 → $x = 7 - 3 = 4$. 양변이 같은 변화를 받았기에 평형은 그대로!
등식 $a = b$가 성립할 때, 양변에 같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나, (0이 아닌 수로) 나누어도 등식은 그대로 성립합니다.
0으로 나누기는 수학에서 정의되지 않습니다. 예를 들어 $\dfrac{5}{0}$이라는 수는 존재하지 않아요. 어떤 수에 0을 곱해도 5가 될 수 없기 때문이죠.
따라서 등식의 양변을 0으로 나누는 변형은 절대로 불가능합니다.
아래 시뮬레이터로 등식의 4가지 성질을 직접 체험합니다. 양변에 항상 같은 조작을 가하면 균형이 깨지지 않습니다.
시작 등식: $x + 3 = 7$. 양변에 같은 조작을 적용해 보세요.
위 시뮬레이터에서 $x + 3 = 7$을 풀려면, 양변에서 −3을 하면 됩니다. → $x = 4$. 이게 바로 방정식 풀이의 핵심 — 양변에 똑같은 조작을 가해 $x$만 한쪽에 남기는 것.
"양변에 +3을 한다"고 일일이 쓰는 대신, "+3을 우변으로 옮기면서 부호를 바꾸자"라는 단축 표기가 바로 이항입니다.
등식의 한 변에 있는 항을 부호를 반대로 바꾸어 반대 변으로 옮기는 것을 이항이라고 합니다.
좌변의 +3이 우변으로 가면서 부호가 −로 바뀌었습니다
| 변형 전 | 이항 | 변형 후 |
|---|---|---|
| $x + 5 = 12$ | +5 → 우변, 부호 ↓ | $x = 12 - 5$ |
| $x - 4 = 7$ | −4 → 우변, 부호 ↑ | $x = 7 + 4$ |
| $3 + x = 10$ | +3 → 우변, 부호 ↓ | $x = 10 - 3$ |
| $2x = 5 + x$ | +x → 좌변, 부호 ↓ | $2x - x = 5$ |
| $5 = x + 2$ | +2 → 좌변, 부호 ↓ | $5 - 2 = x$ |
이항은 결국 등식의 성질 ①과 ②의 단축 표기입니다. $x + 3 = 7$에서 "+3을 이항한다"는 것은 사실 "양변에서 3을 뺀다"를 빠르게 쓰는 방법:
매번 양변에 같은 수를 더하고 빼는 과정을 적기보다는, "부호 바꿔 옮긴다"고 압축하는 것입니다. 곱셈·나눗셈은 이항이라 부르지 않습니다 — 양변에 같은 수를 곱하거나 나누는 것으로만 처리.
아래 식을 하나 골라 이항으로 $x$를 분리해 가는 과정을 확인하세요.
식을 클릭하면 이항 과정을 단계별로 보여줍니다.
개념을 제대로 익혔는지 5문제로 즉시 확인합니다.
제목을 클릭하면 풀이가 펼쳐집니다.
★부터 ★★★까지. 막히면 [풀이 보기]를 눌러 단계별 해설을 확인하세요.
등식의 4가지 성질과 이항. 다음 차시에서는 이 도구로 일차방정식을 본격적으로 풉니다.
양변에 같은 수 더하기·빼기·곱하기·나누기(≠0). 모두 등식 유지.
한 변의 항을 부호 바꿔 반대 변으로. 덧·뺄셈 성질의 단축 표기.
양변을 0으로 나누는 것은 정의되지 않음. 절대 금지.
① 괄호 풀기 → ② $x$항 좌변, 상수 우변으로 모으기 → ③ 계수로 양변 나누기.