식의 값

CORE · 대입과 식의 값

대입 — 문자 자리에 수를 넣다

"문자를 수로 바꾸어 식을 계산한다"는 단순한 행위지만, 두 가지 명확한 약속이 있습니다.

DEFINITION · 정의

대입 (Substitution)

식의 문자에 어떤 수를 그 자리에 넣는 것을 대입이라고 합니다.

$3a + 5$에 $a = 2$를 대입 → $3 \times 2 + 5$

DEFINITION · 정의

식의 값 (Value of expression)

대입한 결과로 얻은 수를 그 식의 값이라고 합니다.

$3a + 5$에 $a = 2$를 대입한 값: $3 \times 2 + 5 = 11$

STEPS · 풀이 순서

대입의 두 단계

① 생략된 곱셈 기호를 살린다. 곱셈 기호 ×를 표시해 자리를 명확히.
② 수를 자리에 넣고 계산한다. 이전 단원의 사칙연산 규칙 그대로 적용.

⚠ 음수를 대입할 때는 괄호를 반드시 사용합니다.

⚠ CAUTION · 음수 대입

음수 대입 — 괄호가 모든 것을 바꾼다

실수의 80%는 음수를 대입할 때 일어납니다. 괄호 하나로 답이 완전히 달라지거든요.

$a^2$의 $a = -3$ 대입

WRONG · 괄호 없이

$a^2$ 에 $a = -3$ 대입
$= -3^2$ ← 잘못!
$= -(3^2) = -9$ ← 틀림

RIGHT · 괄호로 감싸기

$a^2$ 에 $a = -3$ 대입
$= (-3)^2$ ← 정답!
$= (-3)(-3) = +9$ ← 맞음

$-3$ 자체가 통째로 제곱되어야 하는데, 괄호 없이 $-3^2$로 쓰면 "3만 제곱한 후 음수"가 됩니다.

$2a$의 $a = -5$ 대입 (이건 괜찮음)

RIGHT

$2a$ 에 $a = -5$ 대입
$= 2 \times (-5)$ ← 곱셈 기호 살리고 괄호
$= -10$

$2a$처럼 곱셈만 있는 경우는 음수에 괄호만 잘 치면 자연스럽게 풀립니다. 거듭제곱이 함께 있을 때만 특히 조심.

EXAMPLES · 단계별 풀이

예제로 다지기

제목을 클릭하면 풀이가 펼쳐집니다.

EXAMPLE 1 $a = 6$일 때 $\dfrac{a}{2} - 1$의 값

$a = 6$일 때 $\dfrac{a}{2} - 1$의 값을 구하시오.

대입. $a$ 자리에 $6$을 넣는다: $\dfrac{6}{2} - 1$.

분수 계산 먼저. $\dfrac{6}{2} = 3$.

뺄셈. $3 - 1 = 2$.

$\dfrac{a}{2} - 1 \Big|_{a=6} = 2$

EXAMPLE 2 $a = -4$일 때 $a^2 - 2a$의 값 — 음수 대입의 함정

$a = -4$일 때 $a^2 - 2a$의 값을 구하시오.

곱셈 기호를 살린다. $a^2 - 2 \times a$.

음수 대입 시 괄호 필수. $(-4)^2 - 2 \times (-4)$.

주의: $(-4)^2$는 $(-4)(-4) = +16$. $-4^2$($-(4^2) = -16$)와는 완전히 다른 값!

각 항 계산. $(-4)^2 = 16$, $2 \times (-4) = -8$.

최종 계산. $16 - (-8) = 16 + 8 = 24$.

$a^2 - 2a \Big|_{a=-4} = 24$

EXAMPLE 3 $a = 3,\ b = -2$일 때 $2a - b$의 값

$a = 3,\ b = -2$일 때 $2a - b$의 값을 구하시오.

곱셈 기호 복원. $2 \times a - b$.

각각 대입. $2 \times 3 - (-2)$.

곱셈 먼저. $6 - (-2)$.

뺄셈을 덧셈으로. $6 + 2 = 8$.

핵심: 음수 $b = -2$를 빼면 양수 $2$를 더한 것과 같음. 이전 단원에서 배운 부호 규칙이 여기서 그대로 쓰임.

$2a - b \Big|_{a=3,\ b=-2} = 8$

EXAMPLE 4 도형 활용 — 한 변 $a$인 정사각형의 둘레와 넓이

한 변의 길이가 $a$인 정사각형이 있다. (1) 둘레와 넓이를 $a$로 나타내시오. (2) $a = 7$일 때 둘레와 넓이를 각각 구하시오.

(1) 둘레. 네 변의 합 = $4 \times a = 4a$.

(1) 넓이. 가로 × 세로 = $a \times a = a^2$.

(2) $a = 7$ 대입.
둘레: $4a = 4 \times 7 = 28$
넓이: $a^2 = 7^2 = 49$

단위 주의: 둘레는 길이 단위(cm, m 등), 넓이는 제곱 단위(cm², m²). 식만 적고 단위를 빠뜨리지 않도록.

(1) 둘레 $4a$, 넓이 $a^2$ / (2) $a=7$일 때 둘레 $28$, 넓이 $49$

PRACTICE · 난이도별 연습 문제

스스로 풀어보기

★부터 ★★★까지. 막히면 [풀이 보기]를 눌러 단계별 해설을 확인하세요.

★기본

★★응용

★★★심화

PROBLEM 01★ 기본

$a = 5$일 때 다음 식의 값을 구하시오.
(1) $3a$ (2) $a + 4$ (3) $a - 7$ (4) $\dfrac{a}{5}$

SOLUTION · 풀이

(1) $3 \times 5 = 15$

(2) $5 + 4 = 9$

(3) $5 - 7 = -2$

(4) $\dfrac{5}{5} = 1$

(1) 15 (2) 9 (3) −2 (4) 1

PROBLEM 02★ 기본

$x = -3$일 때 다음 식의 값을 구하시오.
(1) $2x$ (2) $-x$ (3) $x - 1$ (4) $5 + x$

SOLUTION · 풀이

(1) $2 \times (-3) = -6$

(2) $-(-3) = +3$. 음수에 음의 부호를 붙이면 양수.

(3) $(-3) - 1 = -4$

(4) $5 + (-3) = 2$

음수 대입 시 괄호: $-x$에 $x = -3$을 대입하면 $-(-3)$. 괄호 없이 $--3$으로 쓰면 안 됩니다.

(1) −6 (2) +3 (3) −4 (4) 2

PROBLEM 03★ 기본

$a = 2,\ b = 3$일 때 다음 식의 값을 구하시오.
(1) $a + b$ (2) $ab$ (3) $2a + b$ (4) $a - 2b$

SOLUTION · 풀이

(1) $2 + 3 = 5$

(2) $ab = 2 \times 3 = 6$

(3) $2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7$

(4) $2 - 2 \times 3 = 2 - 6 = -4$

계산 순서: 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈

(1) 5 (2) 6 (3) 7 (4) −4

PROBLEM 04★★ 응용

$a = -2$일 때 다음 식의 값을 구하시오.
(1) $a^2$ (2) $-a^2$ (3) $a^3$ (4) $a^2 + a$

SOLUTION · 풀이

(1) $a^2 = (-2)^2 = (-2)(-2) = +4$

(2) $-a^2 = -(a^2) = -((-2)^2) = -4$. 제곱한 다음 음의 부호.

(3) $a^3 = (-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8$. 지수 3은 홀수 → 음.

(4) $a^2 + a = (-2)^2 + (-2) = 4 + (-2) = 2$

경고: $a^2$와 $-a^2$를 같다고 착각하면 안 됩니다. 음수를 대입할 때 가장 자주 틀리는 부분.

$(-a)^n$: 지수 짝수면 +, 홀수면 −. $-a^n$: 항상 $a^n$의 부호 반대

(1) 4 (2) −4 (3) −8 (4) 2

PROBLEM 05★★ 응용

$a = 3,\ b = -1$일 때 다음 식의 값을 구하시오.
(1) $a^2 - b^2$ (2) $(a + b)(a - b)$ (3) $2a^2 + ab$

SOLUTION · 풀이

(1) $a^2 - b^2 = 3^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8$

(2) $(a + b)(a - b) = (3 + (-1))(3 - (-1)) = (2)(4) = 8$

(3) $2a^2 + ab = 2 \times 3^2 + 3 \times (-1) = 18 + (-3) = 15$

흥미로운 발견: (1)과 (2)의 답이 모두 8! 사실 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$가 항상 성립합니다. 다음 단원에서 본격적으로 다루는 인수분해 공식.

(1) 8 (2) 8 (3) 15

PROBLEM 06★★ 응용

자동차가 시속 $v$ km로 $t$시간 동안 달린 거리는 $vt$ km이다.
(1) $v = 80,\ t = 2.5$일 때 달린 거리를 구하시오.
(2) $v = 120,\ t = \dfrac{3}{4}$일 때 달린 거리를 구하시오.

SOLUTION · 풀이

(1) $vt = 80 \times 2.5 = 200$ km

(2) $vt = 120 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{360}{4} = 90$ km

핵심: 같은 식 $vt$로 다양한 상황을 모두 처리할 수 있습니다. 식의 일반성이 발휘되는 순간.

(1) 200 km (2) 90 km

PROBLEM 07★★★ 심화

$a = \dfrac{1}{2}$일 때 $\dfrac{1}{a} - a$의 값을 구하시오.

SOLUTION · 풀이

분수 대입. $\dfrac{1}{a}$에 $a = \dfrac{1}{2}$ 대입 → $\dfrac{1}{1/2}$.

$\dfrac{1}{1/2}$ 계산. "1을 1/2로 나눈다" = $1 \times \dfrac{2}{1} = 2$. (역수를 곱한다)

$-a$ 대입. $-\dfrac{1}{2}$.

합치기. $2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$.

$\dfrac{1}{a}$는 $a$의 역수. 분수 $a = \dfrac{p}{q}$의 역수는 $\dfrac{q}{p}$.

$\dfrac{3}{2}$

PROBLEM 08★★★ 심화

$x = -2$일 때, $x^2 - 3x + 4$의 값을 구하시오. 또, 이 값이 $x = 3$일 때의 값과 같은지 확인하시오.

SOLUTION · 풀이

$x = -2$ 대입.
$(-2)^2 - 3 \times (-2) + 4$
$= 4 - (-6) + 4$
$= 4 + 6 + 4 = 14$

$x = 3$ 대입.
$3^2 - 3 \times 3 + 4$
$= 9 - 9 + 4 = 4$

비교. 14 ≠ 4. 두 값은 다르다.

해석: 식 $x^2 - 3x + 4$의 값은 $x$에 따라 변합니다. 모든 $x$에 같은 값을 주는 식(상수)이 아니라는 뜻. 이런 차이가 다음 단원의 방정식 풀이 핵심이 됩니다.

$x=-2$일 때 14, $x=3$일 때 4. 두 값은 같지 않음.

WRAP-UP · 핵심 요약

오늘 배운 것

식에 수를 대입해 값을 구하는 두 단계 — 그리고 음수 대입의 함정. 다음 차시에서는 일차식의 덧셈·뺄셈을 배웁니다.

대입 (Substitution)

문자 자리에 수를 넣는 것. 생략된 곱셈 기호를 먼저 복원.

ii.

대입한 결과로 얻은 수. 같은 식도 변수 값에 따라 달라짐.

iii.

음수 대입 = 괄호

$a = -3 \to (-3)$. 괄호 없으면 $a^2$가 $-9$가 되는 함정.

iv.

$(-a)^2$ vs $-a^2$

전자는 양수, 후자는 음수. 절대 같지 않음!

식의 값

식이 값을 만들어 내다

한 변의 길이가 $a$인 정사각형의 둘레 → $4a$

대입 — 문자 자리에 수를 넣다

대입 (Substitution)

식의 값 (Value of expression)

대입의 두 단계

음수 대입 — 괄호가 모든 것을 바꾼다

$a^2$의 $a = -3$ 대입

$2a$의 $a = -5$ 대입 (이건 괜찮음)

대입 계산기

🧮 식과 값을 골라 보세요

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예제로 다지기

스스로 풀어보기

SOLUTION · 풀이

SOLUTION · 풀이

SOLUTION · 풀이

SOLUTION · 풀이

SOLUTION · 풀이

SOLUTION · 풀이

SOLUTION · 풀이

SOLUTION · 풀이

오늘 배운 것

대입 (Substitution)

식의 값

음수 대입 = 괄호

$(-a)^2$ vs $-a^2$