"같은 부호끼리는 +, 다른 부호끼리는 −." 곱셈과 나눗셈의 모든 비밀은 이 한 줄에 있습니다.
부호의 곱셈 규칙은 외울 수도 있지만, 패턴을 통해 자연스럽게 발견할 수도 있습니다.
| 점진적 패턴 | 결과 |
|---|---|
| $(+3) \times (+2)$ | $+6$ |
| $(+3) \times (+1)$ | $+3$ |
| $(+3) \times (+0)$ | $0$ |
| $(+3) \times (-1)$ | $-3$ |
| $(+3) \times (-2)$ | $-6$ |
| ↑ 두 번째 수가 1 줄면 결과는 3 줄어드는 패턴 | |
| $(-3) \times (+2)$ | $-6$ |
| $(-3) \times (+1)$ | $-3$ |
| $(-3) \times (+0)$ | $0$ |
| $(-3) \times (-1)$ | $+3$ |
| $(-3) \times (-2)$ | $+6$ |
패턴을 자연스럽게 이어가면, $(-3) \times (-1) = +3$이 되어야 일관성이 유지됩니다. 곧 음수 × 음수 = 양수인 것이 수학의 일관성을 위한 자연스러운 약속입니다.
"부호를 정하고, 절댓값을 곱한다" — 단 두 단계로 끝납니다.
두 수의 절댓값을 곱한 값에 양의 부호 (+)를 붙입니다.
두 수의 절댓값을 곱한 값에 음의 부호 (−)를 붙입니다.
어떤 수에 0을 곱해도, 0에 어떤 수를 곱해도 결과는 항상 0입니다.
자연수의 곱셈에서 통하던 모든 법칙은 정수·유리수의 곱셈에서도 그대로 성립합니다.
두 수의 곱셈은 순서를 바꿔도 결과가 같습니다.
예: $(-2) \times (+5) = (+5) \times (-2) = -10$
세 수의 곱셈에서 어느 두 수를 먼저 곱해도 결과가 같습니다.
예: $\{(-2) \times (+5)\} \times (-3) = (-2) \times \{(+5) \times (-3)\} = +30$
괄호 안의 덧셈에 외부의 수를 곱할 때, 각각에 곱한 후 더한 것과 같습니다.
예: $(-3) \times \{(+5) + (-2)\} = (-3) \times (+3) = -9$
또는: $(-3) \times (+5) + (-3) \times (-2) = -15 + 6 = -9$ ✓ 동일
여러 수를 곱할 때 결과의 부호는 음수의 개수로 결정됩니다:
• 음수가 짝수 개 → 결과 부호 +
• 음수가 홀수 개 → 결과 부호 −
음수의 거듭제곱은 지수가 짝수냐 홀수냐에 따라 부호가 결정됩니다.
음수 $-a$ ($a > 0$)에 대해:
• 지수가 짝수이면: $(-a)^{\text{짝수}} = +\,a^{\text{짝수}}$
• 지수가 홀수이면: $(-a)^{\text{홀수}} = -\,a^{\text{홀수}}$
두 표기는 완전히 다른 값을 가집니다. 괄호의 유무가 핵심.
규칙: 괄호가 없으면 지수 우선. 음의 부호는 거듭제곱 이후에 붙입니다.
정수·유리수에서 나눗셈을 따로 외울 필요 없습니다. "나누기" 대신 "역수를 곱하기"로 바꾸면 끝.
두 수의 곱이 1이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라고 합니다.
분수의 경우 분모와 분자를 바꾸기만 하면 역수가 됩니다. 부호는 그대로 유지!
⚠ 주의: $0$의 역수는 존재하지 않습니다. $0$과 곱해 $1$이 되는 수가 없기 때문이에요.
"$a$를 $b$로 나눈다"는 "$a$에 $b$의 역수를 곱한다"와 같습니다 (단, $b \ne 0$).
부호 결정은 곱셈과 똑같습니다 — 같은 부호 → +, 다른 부호 → −.
분수 $\dfrac{a}{0}$은 정의되지 않습니다. "0을 곱해 $a$가 되는 수"는 존재할 수 없기 때문 (0과 곱하면 항상 0).
반면 $\dfrac{0}{a} = 0$ ($a \ne 0$): 0을 어떤 수로 나누어도 결과는 0.
덧·뺄·곱·나눗셈이 섞인 식에서는 명확한 순서 약속이 있습니다.
① 거듭제곱 먼저 계산
② 괄호 안 계산 — 소괄호 ( ) → 중괄호 { } → 대괄호 [ ]
③ 곱셈과 나눗셈을 왼쪽부터 차례로
④ 덧셈과 뺄셈을 왼쪽부터 차례로
① 거듭제곱부터: $(-3)^2 = 9$ → $-2 + 5 \times 9 \div (-3)$
② 곱·나눗셈을 왼쪽부터: $5 \times 9 = 45$, $45 \div (-3) = -15$ → $-2 + (-15)$
③ 덧셈: $-2 + (-15) = -17$
두 정수와 연산을 선택하면 부호 결정과 계산이 단계별로 보입니다.
정수 두 개와 연산자를 선택하세요 (나눗셈은 정수 결과인 경우만)
개념을 제대로 익혔는지 5문제로 즉시 확인합니다.
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★부터 ★★★까지. 막히면 [풀이 보기]를 눌러 단계별 해설을 확인하세요.
곱·나눗셈의 부호는 단 하나의 규칙으로 결정됩니다. 이제 정수와 유리수 단원의 핵심 도구가 완성되었습니다.
같은 부호 → +, 다른 부호 → −. 절댓값을 곱해 결과를 만든다.
음수의 짝수 제곱 → +, 홀수 제곱 → −. $(-a)^n$과 $-a^n$은 다름!
$a \div b = a \times \dfrac{1}{b}$. 분수의 역수는 분모·분자를 바꿈.
① 거듭제곱 ② 괄호 ③ 곱·나눗셈 ④ 덧·뺄셈 (왼쪽부터)