$y = ax$의 그래프는 원점을 지나는 직선. 비례상수 $a$의 부호와 크기가 모양을 결정한다.
$y = 2x$. 이 식이 만들어 내는 표를 좌표평면에 옮기면 어떤 모양이 될까요? 점 하나만 봐서는 모르지만, 여러 점을 찍어 보면 패턴이 보입니다.
아래는 식 → 표 → 점 → 직선의 순서로 옮겨가는 과정입니다.
다섯 점만 찍어도 알 수 있죠 — 모든 점이 한 직선 위에 줄지어 있고, 그 직선은 원점 $O(0,0)$을 지납니다. 정비례 그래프의 본질이 한눈에 보입니다.
정비례 관계 $y = ax$에서 $x$가 연속 변수일 때, 점들을 모두 모으면 직선이 됩니다.
정비례 관계 $y = ax$ ($a \neq 0$)의 그래프는 다음과 같은 성질을 가진 직선이다:
① 원점 $(0, 0)$을 반드시 지난다.
② 점 $(1, a)$를 지난다 (한 점 + 원점 = 직선 결정).
③ 직선이 어느 사분면을 지나는지는 비례상수 $a$의 부호로 결정.
④ 직선의 가파른 정도는 $|a|$의 크기로 결정.
비례상수의 부호가 그래프가 지나는 사분면을 결정합니다.
• $a > 0$ → 직선이 오른쪽으로 갈수록 위로, 제1·3사분면을 지남.
• $a < 0$ → 직선이 오른쪽으로 갈수록 아래로, 제2·4사분면을 지남.
• 두 경우 모두 원점을 지난다.
비례상수의 절댓값은 직선이 얼마나 가파른지를 결정합니다.
$y = x$, $y = 2x$, $y = \dfrac{1}{2}x$ 세 직선을 비교해 보세요.
• $|a|$가 클수록 → 가파른 직선 ($y$축에 가까이 붙음).
• $|a|$가 작을수록 → 완만한 직선 ($x$축에 가까이 붙음).
• $|a| = 1$이면 $x$축·$y$축과 정확히 $45°$ 각도.
정비례 그래프는 단 두 점만 알면 그릴 수 있습니다. 다음 4단계를 익혀 두면 빠릅니다.
$a$가 분수일 때 ($y = \dfrac{1}{3}x$ 등)는 $x = 1$ 대신 분모의 배수를 $x$값으로 잡으면 $y$값이 정수가 되어 그리기 쉽습니다.
비례상수를 다르게 한 여러 정비례 그래프를 한 평면에 동시에 그려 비교해 보세요.
아래 표에서 비례상수 $a$ 값을 입력하면 즉시 해당 정비례 그래프가 평면에 추가됩니다.
$y = ax$의 그래프는 원점을 지나는 직선. $a$의 부호가 사분면을, $|a|$의 크기가 가파른 정도를 결정한다.