"하나가 두 배가 되면 다른 하나도 두 배" — 가장 단순하고 자주 만나는 두 양의 변화 패턴.
사탕 1개에 $200$원. 그러면 2개는? 3개는? 5개는? — 자연스럽게 머릿속에서 일어나는 계산. 그 안에 숨은 패턴을 찾아봅시다.
| 사탕 수 $x$ (개) | 가격 $y$ (원) |
|---|---|
| 1 | 200 |
| 2 | 400 |
| 3 | 600 |
| 4 | 800 |
| 5 | 1000 |
관찰 1. $x$가 2배가 되면 $y$도 2배. $x$가 3배가 되면 $y$도 3배.
관찰 2. $y \div x$는 항상 같다. ($200, 200, 200, ...$)
관찰 3. 한 줄의 식으로 적으면 $y = 200x$. 즉 모든 행이 이 식 하나로 묶인다.
이런 관계를 정비례라고 한다.
"$x$가 변할 때 $y$도 일정한 배수로 함께 변한다"를 수학적으로 표현하면 단 한 줄 — $y = ax$.
두 변수 $x$, $y$ 사이에 $x$가 $2$배, $3$배, $\cdots$가 됨에 따라 $y$도 $2$배, $3$배, $\cdots$가 되는 관계가 성립할 때, $y$는 $x$에 정비례한다고 한다.
이때 두 변수 사이에는 다음과 같은 식이 성립한다.
여기서 상수 $a$를 비례상수라 한다.
$y = ax$의 양변을 $x$로 나누면 $\dfrac{y}{x} = a$가 된다. 즉 비례상수는 "$y$를 $x$로 나눈 값"이며, 표의 어느 행을 보든 항상 같다.
이 관찰이 정비례를 빠르게 판별하는 가장 강력한 도구다 — 표에서 $y \div x$를 계산해 보아 모든 행에서 같으면 정비례.
한 관계를 표·식·비율·문장 — 네 가지 언어로 동시에 보면 정비례의 본질이 명확해집니다.
한 줄의 식이 모든 경우를 묶는다.
$x$가 2배 → $y$도 2배. 비율 변화가 일정.
$y$를 $x$로 나눈 값이 항상 같다.
원점을 지나는 직선이 된다. (다음 차시에서!)
식이 $y = ax + b$의 꼴 (예: $y = 2x + 3$)이라면, $x = 0$일 때 $y$가 $0$이 아니다 ($y = b$). 즉 그래프가 원점을 지나지 않는다. 이런 관계는 정비례가 아니다.
정비례의 핵심 조건: $x = 0$ → $y = 0$. 표에서 $(0, 0)$이 반드시 포함된다.
$a$ 값을 바꾸면 식·표·그래프가 어떻게 함께 변하는지 직접 확인해 보세요.
$y$가 $x$에 정비례하면 $y = ax$ ($a \neq 0$). 비례상수 $a$는 $y/x$의 일정한 값이며, $x = 0$일 때 $y = 0$.