그래프 해석 · 1. 좌표평면과 그래프

HOOK · 그래프가 들려주는 이야기

한 장의 그림이 한 편의 이야기

아래 그래프는 어느 학생이 집에서 학교까지 걸어가는 동안의 "시간 — 집으로부터의 거리"를 나타냅니다. 그래프만 봐도 무슨 일이 일어났는지 짐작할 수 있을까요?

🚶 학생 A의 등굣길

아래 그래프를 보고 학생 A에게 어떤 일이 있었는지 추리해 보세요.

처음 3분 동안은 일정한 속력으로 걸어 학교 방향으로 이동했습니다.

그러다 갑자기 2분 동안 멈춰 있었네요. (그래프가 평평!)

그 후 다시 걷기 시작했지만, 처음보다 속력이 빠릅니다 (그래프 기울기가 더 가파름).

10분이 되자 학교 (집에서 400m)에 도착했습니다.

그래프의 모양 — 올라가는지, 평평한지, 가파른지, 꺾이는지를 보면 우리는 변수가 어떻게 변했는지를 알 수 있습니다. 이번 시간엔 그 "읽는 법"을 익힙니다.

CORE CONCEPT · 핵심 개념

그래프에서 읽어 낼 정보

그래프 한 장에는 의외로 많은 정보가 담겨 있습니다. 어디를 봐야 할지 정리해 봅니다.

READING POINTS · 그래프 읽기

그래프에서 얻는 5가지 정보

• 시작값: $x = 0$일 때 $y$의 값 (출발점)
• 끝값: 마지막 $x$일 때 $y$의 값 (도착점)
• 최댓값·최솟값: $y$가 가장 큰 / 작은 점
• 증가·감소·일정 구간: $x$가 늘어날 때 $y$가 어떻게 변했나
• 변화의 속도: 그래프의 기울어진 정도 (가파를수록 빠른 변화)

시작값 → 끝값 → 최대/최소 → 증감 구간 → 기울기 — 다섯 가지 시점

SHAPE → MEANING · 모양에서 뜻 읽기

그래프 모양의 의미

• 오른쪽 위로 향함 (↗): $x$ 증가 → $y$ 증가 = 증가 구간
• 오른쪽 아래로 향함 (↘): $x$ 증가 → $y$ 감소 = 감소 구간
• 가로로 평평 (→): $x$ 증가에도 $y$가 변하지 않음 = 일정한 구간
• 꺾임: 변화 양상이 바뀌는 지점
• 기울기가 더 가파름: 같은 시간에 더 큰 변화 = 속도가 빠름

기울기 가파를수록 → 빠른 변화 / 완만할수록 → 느린 변화

CAUTION · 주의할 점

그래프와 실제 길의 차이

주의! "시간 — 거리" 그래프에서 그래프가 위로 향한다고 해서 사람이 위로 올라가는 것은 아닙니다. 그것은 단지 "집으로부터의 거리"가 늘어난다는 뜻일 뿐이에요.

그래프의 가로축과 세로축이 무엇을 가리키는지를 먼저 정확히 파악하는 것이 그래프 해석의 첫 번째 규칙입니다.

가장 먼저 보아야 할 것 — 가로축과 세로축의 이름과 단위

SHAPE DICTIONARY · 그래프 모양 사전

자주 만나는 그래프 모양

상황별 대표 그래프 6가지. 각 모양이 어떤 의미인지 익혀 두면 해석이 빨라집니다.

일정하게 증가

$x$ 증가 → $y$ 일정 비율로 증가. 일정한 속력으로 이동, 일정 속도로 채워지는 컵.

일정하게 감소

$x$ 증가 → $y$ 일정 비율로 감소. 향초 길이, 물 빠지는 욕조, 거리 좁혀짐.

일정한 값

$x$ 변해도 $y$ 그대로. 멈춰 있는 자동차, 일정 온도의 방, 정지된 상태.

점점 빠르게 증가

기울기가 점점 가팔라짐. 가속하는 자동차, 자라는 새싹의 키.

증가하다 평평

움직이다 멈춤. 가다가 정지한 자동차, 일하다 휴식하는 사람.

오르락내리락

주기적 변화. 하루 기온 변화, 주식 가격, 진동.

INTERACTIVE · 상황 ↔ 그래프 매칭

이야기에 맞는 그래프는?

상황 설명을 읽고, 그에 어울리는 그래프 하나를 선택하세요.

M1"빈 욕조에 일정한 속력으로 물이 들어와 가득 찼다. 그 다음 일정한 속력으로 물이 빠져 다 빠졌다." 시간(가로) — 물의 양(세로) 그래프는?

A

B

C

D

M2"사람이 일정한 속력으로 걷다가 멈춰서 잠시 쉰 후, 다시 같은 속력으로 출발지로 되돌아왔다." 시간 — 출발지로부터의 거리 그래프는?

A

B

C

D

M3"향초에 불을 붙이니 일정한 속력으로 길이가 줄어들었다." 시간 — 향초 길이 그래프는?

A

B

C

D

QUICK CHECK · 개념 확인

바로 확인하기

아래 "물탱크의 시간 — 물의 양" 그래프를 보고 답하세요.

Q1물의 양이 가장 많이 든 시점의 시간(분)을 구하시오.

Q2그래프에서 물의 최댓값(L)은?

Q3물의 양이 변하지 않고 일정한 구간은 몇 분 동안 지속됐는가? (단위: 분)

Q4물이 빠지기 시작한 시점은 몇 분?

Q5물이 늘어나는 구간(0~3분)과 물이 줄어드는 구간(4~6분) 중, 물이 변하는 속력이 더 빠른 쪽이 "줄어드는 구간"인가? (y / n)

EXAMPLES · 모범 풀이

예제로 익히기

EXAMPLE 01

그래프에서 정보 읽기

아래 그래프는 어느 자동차의 시간(분) — 속력(km/h)을 나타낸다. 이 자동차에게 어떤 일이 있었는지 설명하시오.

① $0$~$3$분: 속력이 $0$에서 $60$ km/h까지 일정하게 증가. → 가속.

② $3$~$6$분: 속력 $60$ km/h를 유지. → 일정한 속력으로 주행.

③ $6$~$8$분: 속력이 $60$에서 $20$까지 감소. → 감속.

$8$분 후 그래프가 끝났으므로 그 시점에 자동차 속력은 $20$ km/h.

출발 → 가속 (3분간) → 정속 주행 (3분간) → 감속 (2분간)

EXAMPLE 02

두 그래프 비교

두 학생 A, B가 같은 출발점에서 같은 시간에 출발해 같은 직선 길을 걸었다. 시간 — 이동 거리 그래프가 아래와 같을 때, 다음을 답하시오.
(1) 누가 더 빠른가? (2) 두 사람의 거리가 같아지는 시점은?

두 그래프 모두 원점에서 시작 → 두 사람은 같은 시점에 같은 곳에서 출발.

기울기 비교: A의 그래프가 더 가파름 (같은 시간에 더 멀리 이동).

$6$분 후 A는 $150$m, B는 $100$m 이동.

두 그래프가 출발점에서만 만남 → 출발 후로는 다시 만나지 않음.

(1) A가 더 빠름. (2) 둘의 거리가 같은 시점은 출발 순간(0분)뿐

PRACTICE · 연습 문제

단계별 문제 풀이

P-01 · ★

아래 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?

오른쪽 위로 향하는 직선 → 증가.

직선이므로 기울기가 일정 → 일정한 비율로 증가.

P-02 · ★

"시간 — 자동차 속력" 그래프가 평평한 가로 직선 모양일 때, 자동차의 상태는?

시간이 흘러도 속력이 변하지 않음 → 등속.

속력 자체는 $0$이 아닐 수 있음 (정지가 아님).

'시간—거리' 그래프가 평평하면 정지지만, '시간—속력' 그래프가 평평하면 등속 주행.

P-03 · ★

"시간 — 집으로부터의 거리" 그래프가 처음에는 위로 올라갔다가, 어느 지점부터 아래로 내려와 출발 높이로 돌아왔다. 이 사람은 어떤 행동을 했을까?

올라감 → 집에서 멀어짐.

내려옴 → 집으로 가까워짐.

출발 높이($y = 0$)로 돌아옴 → 집으로 돌아온 것.

P-04 · ★★

아래는 어떤 욕조의 "시간(분) — 물의 양(L)" 그래프이다. 가장 가능성 있는 시나리오는?

상승 구간 → 물 채우는 시간.

평평 구간 → 물의 양 일정 (잠시 그대로 둠 / 사용 중인 상태).

하강 구간 → 물 빼는 시간.

끝에서 $y = 0$ → 모두 빠짐.

P-05 · ★★

두 사람 A, B의 "시간(분) — 학교에서 멀어진 거리(m)" 그래프이다. 두 사람이 같은 위치에 있는 시점이 처음 등장하는 시간은?

두 사람이 같은 위치 = 두 그래프가 같은 $y$값을 갖는 시점.

즉 두 그래프가 만나는 점.

A의 직선과 B의 그래프(올라가다 평평)가 처음 만나는 곳은 약 $4$분 부근 (둘 다 거리 약 $100$ m).

P-06 · ★★

아래 그래프는 어떤 식물의 "심은 후 일수(일) — 키(cm)" 그래프이다. 식물이 가장 빠르게 자란 구간은?

가장 빠르게 자란 구간 = 그래프 기울기가 가장 가파른 구간.

①: 가로 80에 세로 변화 작음 (느림). ②: 가로 60에 세로 변화 가장 큼.

③: 가로 80에 세로 변화 보통. ④: 가로 20에 세로 변화 매우 작음.

②번 구간이 가장 가파름 → 가장 빠르게 자란 구간은 ②.

P-07 · ★★★

민수가 집에서 출발해 직선 길을 따라 학교까지 걸어가 일정 시간 머문 후, 다시 집으로 돌아왔다. "시간 — 집에서의 거리" 그래프 모양으로 적절한 것은?

집→학교: 집에서 멀어짐 → 증가.

학교에서 머무름: 거리 일정 → 평평.

학교→집: 집으로 가까워짐 → 감소.

결과: 증가 → 평평 → 감소. 시작과 끝의 $y = 0$인 산 모양.

P-08 · ★★★

아래 두 그릇 A, B에 같은 속력으로 물을 부었다. 그릇 A는 위로 갈수록 좁아지는 컵 모양, 그릇 B는 직사각형 통이다. "시간 — 물의 높이" 그래프 모양은?

B 직사각형: 단면이 일정 → 같은 양의 물에 높이도 일정하게 증가 → 직선.

A 위로 좁아짐: 위로 갈수록 같은 양의 물에 높이가 더 많이 올라감 → 시간에 따라 더 빨리 올라감 → 점점 가파른 곡선.

"단면이 좁아질수록 같은 양의 물이 차오를 때 높이가 더 빨리 증가한다"가 핵심.

WRAP-UP · 정리

이번 시간에 배운 것

📌 핵심 한 줄 요약

그래프는 두 변수의 "이야기"를 담고 있다. 시작값·끝값·최대·최소·증감 구간·기울기 — 다섯 가지를 보면 거의 모든 상황을 읽어낼 수 있다.

가장 먼저 보는 것 — 가로축·세로축의 이름과 단위.
오른쪽으로 올라감 → 증가, 내려옴 → 감소, 평평 → 일정.
기울기가 가파를수록 → 변화가 빠름.
꺾이는 지점 → 변화 양상이 바뀌는 순간.
두 그래프가 만나는 점 → 두 양이 같아지는 순간.
같은 그래프 모양도 축이 무엇이냐에 따라 의미가 완전히 다르다 — 항상 축부터 보기.