사분면

HOOK · 이런 상황을 떠올려 봅시다

평면을 네 조각으로

$x$축과 $y$축이 한 점에서 만나면, 평면은 자연스럽게 네 부분으로 나뉩니다. 마치 +자(十) 모양 도로가 마을을 네 구역으로 나누는 것처럼.

🧭 점의 위치는 부호로 결정된다

좌표평면 위에서 점이 어디에 있는지는 두 수의 부호로 알 수 있습니다.

$x$좌표가 양수면 점은 $y$축의 오른쪽, 음수면 왼쪽. $y$좌표가 양수면 점은 $x$축의 위쪽, 음수면 아래쪽.

이 네 가지 조합 ($+,+$), ($-,+$), ($-,-$), ($+,-$) 이 바로 네 개의 사분면입니다.

CORE CONCEPT · 핵심 개념

네 사분면과 부호 패턴

사분면은 반시계 방향으로 번호를 매깁니다 — 1사분면 → 2사분면 → 3사분면 → 4사분면.

Ⅱ

(−, +)

예: $(-3,\ 2)$

Ⅰ

(+, +)

예: $(2,\ 3)$

Ⅲ

(−, −)

예: $(-1,\ -4)$

Ⅳ

(+, −)

예: $(5,\ -2)$

DEFINITION · 정의

좌표축에 의해 좌표평면이 나뉘어진 네 영역. 제1사분면부터 시작해 반시계 방향으로 제2, 제3, 제4사분면이라 부른다.

• 제1사분면 : $x > 0,\ y > 0$ — 오른쪽 위
• 제2사분면 : $x < 0,\ y > 0$ — 왼쪽 위
• 제3사분면 : $x < 0,\ y < 0$ — 왼쪽 아래
• 제4사분면 : $x > 0,\ y < 0$ — 오른쪽 아래

Ⅰ → Ⅱ → Ⅲ → Ⅳ — 반시계 방향이 약속이다

IMPORTANT · 주의할 점

축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다

좌표축 위의 점들 — 즉 $x$좌표나 $y$좌표 중 하나가 $0$인 점 — 은 어느 사분면에도 속하지 않는다. 사분면은 부호가 양수 또는 음수로 명확한 경우에만 정의되기 때문이다.

$(5,\ 0)$ → $x$축 위 / $(0,\ -3)$ → $y$축 위 / $(0,\ 0)$ → 원점 — 어느 것도 사분면에 속하지 않음

QUICK TABLE · 부호 패턴 표

한눈에 보는 사분면별 부호

사분면	$x$좌표	$y$좌표	예
제1사분면 Ⅰ	$+$	$+$	$(3,\ 4)$
제2사분면 Ⅱ	$-$	$+$	$(-2,\ 5)$
제3사분면 Ⅲ	$-$	$-$	$(-1,\ -6)$
제4사분면 Ⅳ	$+$	$-$	$(7,\ -3)$

INTERACTIVE · 사분면 판별기

직접 판별하기

좌표평면 위 아무 곳이나 클릭해 보세요. 그 점이 어느 사분면에 속하는지 즉시 알려드립니다.

🎯 사분면 즉시 판별

점을 찍으면 부호와 사분면이 자동으로 표시됩니다. 축 위에 점을 찍으면 어느 사분면에도 속하지 않음이 표시됩니다.

CLICKED POINT · 찍은 점

( ?, ? )

평면 위를 클릭하세요

축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않음.

QUICK CHECK · 개념 확인

바로 확인하기

사분면 번호는 1~4의 자연수로 입력하세요. 축 위의 점이면 0으로 입력하세요.

Q1점 $(3,\ 4)$는 어느 사분면 위의 점인가? (1~4 중 입력, 어느 사분면도 아니면 0)

Q2점 $(-2,\ -5)$는 어느 사분면?

Q3점 $(-7,\ 1)$은 어느 사분면?

Q4점 $(6,\ -3)$은 어느 사분면?

Q5점 $(0,\ 8)$은 어느 사분면? (0 = 어느 사분면도 아님)

EXAMPLES · 모범 풀이

예제로 익히기

사분면을 활용하는 대표적인 두 유형.

EXAMPLE 01

점의 사분면 결정

다음 점은 각각 어느 사분면에 속하는지 (또는 어느 축 위에 있는지) 판별하시오.
① $A(2,\ 3)$ ② $B(-4,\ 1)$ ③ $C(-3,\ -2)$ ④ $D(5,\ -7)$ ⑤ $E(0,\ -1)$

$x$좌표·$y$좌표 두 부호를 동시에 본다.

① $(+,+)$ → Ⅰ사분면.

② $(-,+)$ → Ⅱ사분면.

③ $(-,-)$ → Ⅲ사분면.

④ $(+,-)$ → Ⅳ사분면.

⑤ $x = 0$이므로 $y$축 위 → 어느 사분면도 아님.

∴ Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ, $y$축 위

EXAMPLE 02

부호 조건으로부터 사분면 추론

두 수 $a,\ b$에 대해 $a < 0$이고 $b > 0$이다. 점 $P(a,\ b)$는 어느 사분면에 속하는가?

$a < 0$ → $x$좌표 음수.

$b > 0$ → $y$좌표 양수.

부호 패턴 $(-, +)$ → Ⅱ사분면.

∴ 점 $P$는 제2사분면 위의 점

PRACTICE · 연습 문제

단계별 문제 풀이

★(기본) → ★★(응용) → ★★★(심화) 순서로 풀어 봅니다.

P-01 · ★

점 $A(-4,\ 5)$가 속한 사분면은?

$x$좌표 $= -4 < 0$, $y$좌표 $= 5 > 0$.

$(-, +)$ → 제2사분면.

P-02 · ★

점 $(8,\ -1)$이 속한 사분면의 번호를 쓰시오.

$x = 8 > 0$, $y = -1 < 0$.

$(+, -)$ → 제4사분면.

P-03 · ★

다음 중 사분면에 속하지 않는 점은?

사분면에 속하려면 두 좌표가 모두 $0$이 아니어야 함.

$(0, -4)$는 $x$좌표가 $0$이므로 $y$축 위의 점.

따라서 어느 사분면에도 속하지 않음.

P-04 · ★★

$a > 0$, $b < 0$일 때, 점 $(-a,\ b)$가 속한 사분면의 번호를 쓰시오.

$a > 0$이므로 $-a < 0$. 즉 $x$좌표 $= -a < 0$.

$y$좌표 $= b < 0$.

$(-, -)$ → 제3사분면.

P-05 · ★★

점 $(a,\ b)$가 제4사분면 위의 점일 때, 점 $(-a,\ -b)$는 어느 사분면 위에 있는가? (번호 입력)

제4사분면이므로 $a > 0$, $b < 0$.

$-a < 0$, $-b > 0$.

$(-, +)$ → 제2사분면.

관찰: 점 $(a,b)$와 점 $(-a,-b)$는 원점에 대해 대칭. 따라서 사분면도 Ⅰ↔Ⅲ, Ⅱ↔Ⅳ로 대각선 자리.

P-06 · ★★

점 $(ab,\ a+b)$가 제2사분면 위의 점이라면, $a$와 $b$의 부호는?

제2사분면 → $x = ab < 0$, $y = a + b > 0$.

$ab < 0$ → $a, b$의 부호가 다름.

$a + b > 0$ → 두 수의 합이 양수 → 절댓값이 큰 쪽이 양수.

$a > 0, b < 0$이고 $|a| > |b|$이거나, $a < 0, b > 0$이고 $|b| > |a|$인 경우 모두 가능.

P-07 · ★★★

점 $A(a,\ b)$가 제3사분면 위의 점일 때, 점 $B(-a,\ a^2 - b)$는 어느 사분면 위에 있는가? (번호 입력)

제3사분면 위의 점 → $a < 0$, $b < 0$.

$x$좌표 $= -a$. $a < 0$이므로 $-a > 0$.

$y$좌표 $= a^2 - b$. $a^2 > 0$이고 $b < 0$이므로 $-b > 0$. 따라서 $a^2 - b = a^2 + (-b) > 0$.

$x$좌표·$y$좌표 모두 양수 → $(+, +)$ → 제1사분면.

P-08 · ★★★

$ab > 0$이고 $a + b < 0$일 때, 점 $(a,\ b)$가 속한 사분면은?

$ab > 0$ → $a, b$의 부호가 같음. 즉 둘 다 양수 또는 둘 다 음수.

$a + b < 0$ → 두 수의 합이 음수 → 둘 다 양수일 수는 없음.

결론: $a < 0$, $b < 0$ → $(-, -)$ → 제3사분면.

WRAP-UP · 정리

이번 시간에 배운 것

📌 핵심 한 줄 요약

좌표평면은 두 좌표축에 의해 네 개의 사분면으로 나뉘며, 각 사분면은 $x$, $y$의 부호 조합으로 결정된다.

제1사분면: $x > 0$, $y > 0$ → $(+, +)$
제2사분면: $x < 0$, $y > 0$ → $(-, +)$
제3사분면: $x < 0$, $y < 0$ → $(-, -)$
제4사분면: $x > 0$, $y < 0$ → $(+, -)$
축 위의 점($x$ 또는 $y$ 좌표가 $0$)은 어느 사분면에도 속하지 않는다.
번호는 반시계 방향으로 매긴다 — Ⅰ → Ⅱ → Ⅲ → Ⅳ.