소인수분해의 비밀이 인터넷 보안의 핵심이 되는 이유를 직접 체험합니다. 나만의 암호 시스템을 만들고, 친구에게 보낼 비밀 메시지를 디자인해 보세요.
여러분이 인터넷 쇼핑몰에서 카드 결제를 할 때, 카드 번호는 어떻게 안전하게 전송될까요? 그 비밀의 중심에 소수가 있습니다.
1977년, MIT의 세 수학자 Rivest, Shamir, Adleman은 인터넷 통신의 기본 암호 방식을 발명했습니다. 그 핵심 아이디어는 놀랄 만큼 단순합니다.
① 두 개의 큰 소수 $p$와 $q$를 고른다.
② 두 수를 곱해 $n = p \times q$를 만든다.
③ $n$을 모두에게 공개한다. 하지만 $p$와 $q$는 비밀로 둔다.
이 방식이 안전한 이유는 단순합니다 — 곱셈은 빠르지만, 큰 수의 소인수분해는 엄청나게 오래 걸린다는 것! 600자리 정도의 $n$을 소인수분해하는 데는 최신 컴퓨터로도 우주 나이보다 더 오랜 시간이 걸립니다.
두 활동을 시간 재며 직접 해 보세요. 어느 것이 더 어려운가요?
왼쪽 문제는 보통 1분 안에 풀립니다. 오른쪽 문제는 어떤가요?
아래는 두 소수의 곱으로 만든 수들입니다. 각각 어떤 두 소수의 곱일지 추측해 보세요. (모두 두 자리 소수 두 개의 곱입니다)
분해: $143 = ? \times ?$. 11부터 차례로 나누어 보면 빠릅니다.
143 = 11 × 13
19, 23 정도까지 시도해야 합니다.
437 = 19 × 23
두 자리 소수의 곱이지만, $\sqrt{5963} \approx 77$이므로 30~70 정도의 소수까지 점검해야 합니다.
5963 = 67 × 89
간단한 약속을 만들어 봅시다. 각 알파벳을 다른 소수와 짝지으면, 단어는 소수들의 곱으로 표현됩니다.
아래에 단어를 입력하면, 각 글자에 소수를 매핑해 단어를 소수들의 곱으로 변환합니다. (A=2, B=3, C=5, D=7, ... A부터 차례로 26번째 소수까지)
친구에게 단어 대신 곱한 결과(숫자)만 보낸다고 생각해 보세요. "CAT"이라는 단어 대신 "5 × 2 × 109 = 1090"이라는 숫자가 전송됩니다.
받은 친구가 알파벳-소수 대응표를 가지고 있으면, 1090을 소인수분해하여 5, 2, 109를 얻고 → 알파벳 순서대로 다시 글자로 복원합니다.
이 대응표를 모르는 사람은 1090을 분해할 수 있어도 그게 어떤 단어인지 알 수 없습니다. 이게 암호의 핵심 아이디어!
각 칸에 자신의 답변을 작성하세요. 입력하면 자동으로 저장됩니다 (브라우저).
다음 자연수를 소인수분해하시오. 풀이 과정을 함께 적어주세요.
(1) 2024 (2) 2025
위의 탐구 ①과 ②를 바탕으로, 다음 질문에 답해 주세요.
"두 수를 곱하는 것"과 "한 수를 두 소수로 분해하는 것" 중 어느 쪽이 더 어려운가요? 그 이유는 무엇이라고 생각하나요?
알파벳 26자 외에도, 한글 자음 14자를 각각 다른 소수와 짝지어 나만의 한글 암호표를 만들어 보세요. (자음 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ, ㅇ, ㅈ, ㅊ, ㅋ, ㅌ, ㅍ, ㅎ)
위에서 만든 암호표를 이용해, 친구에게 보낼 2~3글자 단어를 골라 암호화해 보세요. 단어, 곱한 결과(암호), 그리고 받은 친구가 어떻게 복호화할지의 과정을 적어주세요.
자신의 답변을 다음 기준으로 점검해 보세요.
| 항목 | A 수준 | B 수준 | C 수준 |
|---|---|---|---|
| 소인수분해 정확도 (과제 1) |
A 두 수 모두 정확히 분해하고, 거듭제곱 표기까지 사용 | B 한 수만 정확하거나, 거듭제곱 표기 빠짐 | C 분해 시도는 했으나 오답 |
| 탐구 통찰 (과제 2) |
A "분해가 더 어렵다"는 결론과 함께 그 이유를 자기 언어로 설명 | B 결론은 있으나 이유 설명이 빈약 | C 결론만 있고 이유가 없음 |
| 암호표 설계 (과제 3) |
A 14개 자음 모두에 서로 다른 소수를 일대일 대응 | B 일부 누락되었거나 소수가 아닌 수 사용 | C 대응 규칙이 모호하거나 미완성 |
| 암호화·복호화 과정 (과제 4) |
A 정확한 과정 설명 + "순서 약속이 필요하다" 같은 한계점 언급 | B 과정은 정확하지만 한계점 언급 없음 | C 과정에 계산 오류 있음 |
소수의 개념부터 RSA 암호의 원리까지 — 한 단원에서 2,200년의 수학사를 가로지르는 여정이었습니다. 이제 정수와 유리수 단원으로 넘어갈 준비가 되었어요.