소인수분해

PROLOGUE · 도입

너무 긴 곱셈을 짧게

3600을 소수의 곱으로 쓰면 8개의 숫자가 줄줄이 늘어섭니다. 이걸 단 4개의 기호로 줄이는 약속이 있어요.

$3600 = $

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

↓ 같은 수의 곱을 묶어서

$2^4 \times 3^2 \times 5^2$

같은 수의 곱은 거듭제곱으로 묶어 씁니다. 8개의 숫자가 단 3개의 거듭제곱으로 정리되었어요.

CORE · 거듭제곱

거듭제곱 — 밑과 지수

같은 수를 여러 번 곱한 결과를 짧게 쓰는 방법을 약속합니다.

DEFINITION · 정의

거듭제곱

같은 수를 여러 번 곱한 것을 거듭제곱(power)이라고 합니다. 곱해지는 수를 밑(base), 곱한 횟수를 지수(exponent)라고 합니다.

$\underbrace{2 \times 2 \times 2}_{\text{2를 3번 곱함}} = 2^3$ (읽기: 2의 세제곱)

2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵

BASE

밑 (밑)

곱해지는 같은 수. $2^5$에서 밑은 2.

EXPONENT

지수

몇 번 곱했는지. $2^5$에서 지수는 5. 5번 곱했다는 뜻.

읽는 법 · How to read

거듭제곱을 우리말로 읽기

• $2^2$ → "2의 제곱" 또는 "2의 2제곱"
• $2^3$ → "2의 세제곱" (또는 "2의 3제곱")
• $2^4$ → "2의 네제곱" (4제곱)
• $2^n$ → "2의 $n$제곱"

⚠ 주의: $2^1 = 2$로, 지수가 1이면 그냥 그 수 자체입니다. 보통은 $2^1$을 그냥 $2$로 씁니다.

CORE · 소인수와 소인수분해

소인수, 그리고 소인수분해

자연수의 약수 중에서 소수인 것 — 그것이 그 수의 "씨앗"입니다.

DEFINITION · 정의

소인수 (Prime factor)

자연수의 인수(약수) 중에서 소수인 것을 그 자연수의 소인수라고 합니다.

예: 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12. 이 중 소수는 2, 3. 따라서 12의 소인수는 2와 3.

DEFINITION · 정의

소인수분해 (Prime factorization)

1보다 큰 자연수를 그 자연수의 소인수만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 합니다.

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$ — 12를 소인수분해한 결과

THEOREM · 산술의 기본 정리

분해는 단 한 가지 방법뿐

"1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 단 한 가지 방법으로 표현된다."

이걸 산술의 기본 정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)라고 부릅니다. 12를 어떻게 분해해도 결과는 항상 $2^2 \times 3$. 순서만 다를 뿐이죠.

12를 분해하는 두 가지 경로:
① 12 = 2 × 6 = 2 × (2 × 3) = 2² × 3
② 12 = 3 × 4 = 3 × (2 × 2) = 2² × 3
→ 결과는 항상 2² × 3

METHOD · 분해 방법

두 가지 분해 방법

어떤 방법을 써도 결과는 같습니다. 자기에게 편한 방법을 익혀 두세요.

1 거꾸로 나눗셈

작은 소수부터 차례로 나누어 갑니다. 몫이 1이 될 때까지 반복.

예: 60을 소인수분해

2)60

2)30

3)15

5)5

1

60 = 2² × 3 × 5

2 가지 만들기 (factor tree)

두 수의 곱으로 갈라 가다가 소수가 되면 멈춥니다.

예: 60을 소인수분해

PROCEDURE · 표기 약속

소인수분해 결과를 쓰는 방법

① 같은 소인수는 거듭제곱으로 묶어서 씁니다.
② 소인수는 작은 것부터 큰 것 순서로 씁니다.
③ 즉, $5 \times 2 \times 2 \times 3$ 이 아니라 $2^2 \times 3 \times 5$ 로 정리합니다.

$72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$ ← 이렇게!

INTERACTIVE · 직접 해보기

자동 소인수분해기

2~9999 범위의 자연수를 입력하고 [분해 시작]을 누르세요. 단계별 분해 과정과 최종 결과가 표시됩니다.

숫자를 입력하세요

결과가 여기에 표시됩니다

QUICK CHECK · 개념 확인

바로 풀어보기

개념을 제대로 익혔는지 5문제로 즉시 확인합니다.

Q1 / 5

$2^4$는 무엇과 같은가?

Q2 / 5

$5^3$에서 밑은?

Q3 / 5

18을 소인수분해하면?

Q4 / 5

24의 소인수의 합은?

Q5 / 5

다음 중 소인수분해가 옳은 것은?

EXAMPLES · 단계별 풀이

예제로 다지기

제목을 클릭하면 풀이가 펼쳐집니다.

EXAMPLE 1 72를 소인수분해하시오

72를 소인수분해하시오.

가장 작은 소수 2부터 나눠 본다.
$72 \div 2 = 36$ (떨어짐)
$36 \div 2 = 18$ (떨어짐)
$18 \div 2 = 9$ (떨어짐)

9는 2로 떨어지지 않으므로 다음 소수 3으로.
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$

주의: "어디까지 나눠야 하지?"라고 의심되면, 몫이 1이 될 때까지 계속합니다. 한 소수로 더 이상 떨어지지 않으면 다음 소수로 옮겨갑니다.

나누는 데 사용한 소수를 모은다. 2를 3번, 3을 2번. 즉 $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$.

$72 = 2^3 \times 3^2$

EXAMPLE 2 84의 소인수를 모두 구하고, 소인수분해하시오

84를 소인수분해하고, 84의 모든 소인수를 나열하시오.

나눗셈으로 분해:
$84 \div 2 = 42$
$42 \div 2 = 21$
$21$은 짝수가 아니므로 $\div 3$: $21 \div 3 = 7$
$7$은 소수이므로 $\div 7$: $7 \div 7 = 1$ ✓

거듭제곱으로 정리: 2를 2번, 3을 1번, 7을 1번 사용.
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$

소인수 = 분해에 등장한 소수들. 84의 소인수는 2, 3, 7 (세 개).

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ / 소인수: 2, 3, 7

EXAMPLE 3 $2 \times 3^2 \times 5$의 값을 구하시오

$2 \times 3^2 \times 5$의 값을 구하시오. (역방향: 분해된 형태에서 원래 수를 복원)

거듭제곱부터 푼다. $3^2 = 3 \times 3 = 9$.

차례로 곱한다. $2 \times 9 \times 5 = 18 \times 5 = 90$.

팁: 곱셈에서는 순서를 바꿔도 됩니다. $2 \times 5 = 10$을 먼저 계산하면 $10 \times 9 = 90$으로 더 쉬워요.

$2 \times 3^2 \times 5 = 90$

PRACTICE · 난이도별 연습 문제

스스로 풀어보기

★부터 ★★★까지. 막히면 [풀이 보기]를 눌러 단계별 해설을 확인하세요.

★기본

★★응용

★★★심화

PROBLEM 01★ 기본

다음을 거듭제곱으로 나타내시오.
(1) $5 \times 5 \times 5$ (2) $2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7$ (3) $3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$

SOLUTION · 풀이

(1) 5가 3번 곱해짐. → $5^3$

(2) 2가 2번, 7이 3번. → $2^2 \times 7^3$

(3) 3이 2번, 5가 4번. → $3^2 \times 5^4$

표기 약속: 거듭제곱 표기는 소인수를 작은 것부터 큰 것 순서로 씁니다.

(1) $5^3$ (2) $2^2 \times 7^3$ (3) $3^2 \times 5^4$

PROBLEM 02★ 기본

다음 자연수를 소인수분해하시오.
(1) 28 (2) 45 (3) 100

SOLUTION · 풀이

(1) 28: $28 \div 2 = 14$, $14 \div 2 = 7$, $7$은 소수. → $28 = 2^2 \times 7$

(2) 45: 45는 홀수라 2로 안 떨어짐. $45 \div 3 = 15$, $15 \div 3 = 5$, $5$는 소수. → $45 = 3^2 \times 5$

(3) 100: $100 \div 2 = 50$, $50 \div 2 = 25$, $25 \div 5 = 5$, $5 \div 5 = 1$. → $100 = 2^2 \times 5^2$

(1) $2^2 \times 7$ (2) $3^2 \times 5$ (3) $2^2 \times 5^2$

PROBLEM 03★ 기본

$2^3 \times 3^2$의 값을 구하시오.

SOLUTION · 풀이

각 거듭제곱부터: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, $3^2 = 3 \times 3 = 9$.

곱하기: $8 \times 9 = 72$.

$2^3 \times 3^2 = 72$

PROBLEM 04★★ 응용

$120$의 소인수를 모두 구하시오. 또, 모든 소인수의 합은?

SOLUTION · 풀이

소인수분해:
$120 \div 2 = 60$
$60 \div 2 = 30$
$30 \div 2 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$
→ $120 = 2^3 \times 3 \times 5$

소인수: 분해에 등장한 소수들 → 2, 3, 5

소인수의 합: $2 + 3 + 5 = 10$

주의 — "지수"는 합에 포함하지 않습니다. $2^3$이라고 해서 2를 세 번 더하는 게 아니라, 소인수 2를 한 번만 더합니다.

소인수: 2, 3, 5 / 소인수의 합: 10

PROBLEM 05★★ 응용

$2^a \times 3^b = 72$일 때, 자연수 $a$, $b$의 값을 각각 구하시오.

SOLUTION · 풀이

72를 소인수분해.
$72 \div 2 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
→ $72 = 2^3 \times 3^2$

비교. $2^a \times 3^b = 2^3 \times 3^2$이므로 지수를 비교하면 $a = 3$, $b = 2$.

핵심: 산술의 기본 정리에 의해 소인수분해는 단 한 가지뿐이므로, 양변의 지수를 직접 비교할 수 있습니다.

$a = 3$, $b = 2$

PROBLEM 06★★ 응용

$216$을 소인수분해하면 $2^a \times 3^b$이다. $a + b$의 값을 구하시오.

SOLUTION · 풀이

216을 분해.
$216 \div 2 = 108$
$108 \div 2 = 54$
$54 \div 2 = 27$
$27 \div 3 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
→ $216 = 2^3 \times 3^3$

지수 확인. $a = 3$, $b = 3$.

합: $a + b = 3 + 3 = 6$.

$a + b = 6$

PROBLEM 07★★★ 심화

$540$에 가능한 한 작은 자연수 $x$를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려고 한다. $x$의 값을 구하시오.

SOLUTION · 풀이

540을 소인수분해. $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

"어떤 자연수의 제곱"의 조건: 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다. ($n^2 = (p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots)^2 = p_1^{2a_1} \times p_2^{2a_2} \times \cdots$)

자연수의 제곱 $\Leftrightarrow$ 모든 소인수의 지수가 짝수

540의 지수를 점검: $2^{\color{green}{2}} \times 3^{\color{red}{3}} \times 5^{\color{red}{1}}$.
2의 지수 2는 짝수 ✓ / 3의 지수 3은 홀수 ✗ / 5의 지수 1은 홀수 ✗

홀수 지수를 짝수로 만들려면: 3을 한 번 더 곱해 $3^4$로, 5를 한 번 더 곱해 $5^2$로. → $x = 3 \times 5 = 15$

확인: $540 \times 15 = 8100 = 2^2 \times 3^4 \times 5^2 = (2 \times 3^2 \times 5)^2 = 90^2$. ✓

$x = 15$ (이때 $540 \times 15 = 90^2$)

PROBLEM 08★★★ 심화

$72$의 약수의 개수를 구하시오.

SOLUTION · 풀이

72를 소인수분해. $72 = 2^3 \times 3^2$

약수의 구성 원리: 72의 모든 약수는 $2^a \times 3^b$ 형태입니다. 이때 $a$는 0,1,2,3 중 하나(4가지), $b$는 0,1,2 중 하나(3가지) 가능.

약수의 개수 = (각 소인수의 지수 + 1)의 곱

계산: $(3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12$.

왜 +1? 지수 $a$가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, 3$으로 (지수+1)개입니다. 0도 포함되어야 하기 때문이에요 ($2^0 = 1$).

확인 — 72의 약수 나열: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 → 정말 12개!

72의 약수의 개수는 12개

너무 긴 곱셈을 짧게

거듭제곱 — 밑과 지수

거듭제곱

거듭제곱을 우리말로 읽기

소인수, 그리고 소인수분해

소인수 (Prime factor)

소인수분해 (Prime factorization)

분해는 단 한 가지 방법뿐

두 가지 분해 방법

1 거꾸로 나눗셈

2 가지 만들기 (factor tree)

소인수분해 결과를 쓰는 방법

자동 소인수분해기

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오늘 배운 것

거듭제곱

소인수

소인수분해

약수의 개수 공식