Core · 허수단위
제곱하면 −1 이 되는 수
$i^2 = -1, \qquad i = \sqrt{-1}$
실수 범위에서는 제곱이 음수인 수가 없었다. 새 단위 $i$ 를 도입하면 음수의 제곱근도 다룰 수 있다: $\sqrt{-4}=2i$.
$i$ 의 거듭제곱은 $i, -1, -i, 1$ 이 네 개씩 반복된다: $i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1$.
Core · 복소수의 꼴
실수부와 허수부
복소수 $z = a + bi$ ($a, b$ 는 실수) — 실수부 $a$, 허수부 $b$
$b=0$ 이면 실수, $b\neq 0$ 이면 허수, 특히 $a=0,\ b\neq0$ 이면 순허수. 켤레복소수 $\bar z = a - bi$ 는 허수부의 부호만 바꾼 것이다.
$z\bar z = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$ 은 항상 실수가 된다 — 나눗셈의 핵심.
Core · 사칙연산
실수처럼, 단 i²=−1
덧셈·뺄셈
실수부끼리, 허수부끼리.
곱셈
분배 후 $i^2=-1$ 로 정리.
나눗셈
분모의 켤레를 분자·분모에 곱해 분모를 실수로.
Interactive · 실험실
복소수 계산기
두 복소수 $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$ 의 계수를 끌고 연산을 골라 보세요. 결과가 $p+qi$ 꼴로 즉시 계산됩니다.
z₁, z₂
Quick Check · 즉문즉답
즉시 점검
Q1. $i^2$ 의 값은?
Q2. $(1+2i)+(2+3i)$ 를 $a+bi$ 꼴로? (예: 3+5i)
Q3. $(1+2i)(1-2i)$ 의 값은? (= 1+4)
Practice · 연습
연습 & 무한 연습
01★
$\sqrt{-4}$ 를 $i$ 를 사용해 나타내어라.
02★
$(4+2i)-(1+3i)$ 를 $a+bi$ 꼴로 나타내어라.
03★★
$(1+2i)(3-i)$ 를 $a+bi$ 꼴로 나타내어라.
04★★
$\dfrac{1+i}{1-i}$ 를 간단히 하여라. (분모의 켤레 $1+i$ 를 곱한다)
무한 연습 — 복소수의 곱
$(a+bi)(c+di)$ 를 $p+qi$ 꼴로 계산하세요.
수의 세계가 닫힌다
$i^2=-1$ 하나로 모든 이차방정식이 근을 갖게 된다.
나눗셈은 켤레를 곱해 분모를 실수로 만드는 것이 전부.
"With i, every quadratic finally has its roots."