Core · 항등식
항상 성립하는 등식
방정식 vs 항등식
방정식은 특정한 값에서만 성립하지만, 항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다.
$a x^2 + b x + c = 0$ 이 $x$ 에 대한 항등식 $\iff a = b = c = 0$
Method · 미정계수법
두 가지 방법으로 계수를 찾는다
계수비교법
양변을 정리해 같은 차수의 계수가 서로 같다고 놓는다.
수치대입법
적당한 $x$ 값을 대입해 미지수에 대한 식을 얻는다.
예제 · 계수비교
$x^2 + 3x + 2 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ 가 항등식이 되도록 $a, b, c$ 를 정하여라.
- $x=-1$ 대입: $0 = c$ → $c=0$
- 우변 전개 $a x^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$ 와 계수비교: $a=1,\; 2a+b=3 \Rightarrow b=1$
- $\therefore a=1, b=1, c=0$
Core · 나머지정리
나머지 = P(a)
나머지정리
다항식 $P(x)$ 를 일차식 $x - a$ 로 나눈 나머지는 $P(a)$ 이다.
$P(x) = (x-a)Q(x) + R$ 에서 $x=a$ 를 대입하면 $(a-a)Q(a)=0$ 이므로 $R = P(a)$. 나누는 수고 없이 값 하나만 계산하면 나머지를 알 수 있다.
Interactive · 실험실
나머지정리 실험실
$P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ 의 그래프 위에서 $x=a$ 의 점을 따라가 보세요. 그 $y$ 값이 곧 $(x-a)$ 로 나눈 나머지입니다. 나머지가 0이 되는 곳에서 $x-a$ 는 인수가 됩니다.
나머지 R = P(a)
Core · 인수정리
나머지가 0이면 인수다
$P(a) = 0 \iff (x - a)$ 는 $P(x)$ 의 인수
나머지정리의 특별한 경우다. 삼차 이상의 다항식을 인수분해할 때, $P(a)=0$ 이 되는 $a$ 를 찾아 $x-a$ 로 떼어 내는 것이 다음 차시의 핵심 전략이 된다.
Quick Check · 즉문즉답
즉시 점검
Q1. $P(x)=x^3-2x^2-x+2$ 를 $x-2$ 로 나눈 나머지는? (= P(2))
Q2. 같은 $P(x)$ 를 $x-1$ 로 나눈 나머지는?
Q3. $P(1)=0$ 이므로 $x-1$ 은 $P(x)$ 의 인수인가? (예/아니오)
Practice · 연습
연습 & 무한 연습
01★
$P(x)=x^2+x+1$ 을 $x-1$ 로 나눈 나머지를 구하여라.
02★
$P(x)=x^3+1$ 을 $x$ 로 나눈 나머지를 구하여라. (= P(0))
03★★
$P(x)=x^3-x+1$ 을 $x-2$ 로 나눈 나머지를 구하여라.
04★★
$P(x)=2x^2+ax+1$ 을 $x-1$ 로 나눈 나머지가 0일 때 상수 $a$ 의 값을 구하여라.
무한 연습 — P(a) 계산
나머지정리로 나머지(= P(a))를 빠르게 구해 보세요.
값 하나로 나머지를 안다
$x-a$ 로 나눈 나머지는 언제나 $P(a)$.
$P(a)=0$ 이면 $x-a$ 는 인수 — 이것이 인수분해의 열쇠다.
"To know the remainder, just ask P(a)."